Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
ZADANIA•2.CIĄGILICZBRZECZYWISTYCH
2.1.4.Niech{an}będzieciągiemograniczonymitakim,żedlakażdegon∈N
mamy
an+1≥an−
2n
1
.
Udowodnićzbieżnośćciągu{an}.
Wskazówka.Rozpatrzyćciągowyrazachan−
2n11
1
.
2.1.5.Wykazaćzbieżnośćciąguowyrazach
(a)anl−2√n+(1
√1
+
√2
1
+...+
√n),
1
(b)bnl−2√n+1+(1
√1
+
√2
1
+...+
√n).
1
Wskazówka.Udowodnićnajpierw,żenierówność
2(√n+1−1)<
√1
1
+
√2
1
+...+
√n
1
<2√n,
n∈N
jestprawdziwa.
2.1.6.Wykazać,żeciąg{an}określonyrekurencyjnie
a1l
3
2
,
anld3an11−2,
n≥2,
jestzbieżnyiobliczyćjegogranicę.
2.1.7.Niechcbędzieustalonąliczbąrzeczywistąwiększąniż2orazniech{an}
będzieciągiemokreślonymwsposóbrekurencyjny
a1lc
2,
an+1l(an−c)
2,
n≥1.
Wykazać,żeciąg{an}jestściślerosnący.
2.1.8.Niech{an}będzieciągiemspełniającymwarunek
0<an<1
i
an(1−an+1)>
1
4
,
n∈N.
Udowodnićzbieżnośćtakiegociąguiznaleźćjegogranicę.
2.1.9.Wykazaćzbieżnośćciąguokreślonegownastępującysposób:
a1l0,an+1l√6+an,
n≥1
iobliczyćjegogranicę.
2.1.10.Wykazaćzbieżnośćciąguzdefiniowanegownastępującysposób:
a1l0,a2l
1
2
,an+1l
1
3
(1+an+a
3
n11),
n>1
iobliczyćjegogranicę.
2.1.11.Zbadaćmonotonicznośćciąguowyrazach
anl
(2n+1)!!
n!
,
n≥1
iobliczyćjegogranicę.
