Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16I.Równaniaruchu
Wielkośćmnazywasięmasąpunktumaterialnego.Wobecwłasnościaddytywności
funkcjiLagrange’a,dlaukładupunktównieoddziałującychmamy∗
L=Σ
a
1
2mav
a.
2
(4.2)
Należypodkreślić,żetylkoprzyuwzględnieniuwłasnościaddytywnościpodana
definicjamasymarealnysens.Jakjużwspomnieliśmyw§2,funkcjęLagrange’amożna
zawszepomnożyćprzezdowolnąstałą;niematowpływunarównaniaruchu.Dlafunkcji
(4.2)takiepomnożeniesprowadzasiędozmianyjednostkiwymiarumasy;natomiast
stosunkimasróżnychcząstek,którejedyniemająrealnysensfizyczny,niezmieniająsię
przytakimprzekształceniu.
Łatwomożnastwierdzić,żemasaniemożebyćujemna.Zgodniebowiemzzasadą
najmniejszegodziałaniadlaruchurzeczywistegotakiegopunktumaterialnego,którego
torprzechodziprzezpunkty1i2wprzestrzeni,całka
S=
∫
1
2
1
2mv2dt
maminimum.Jeżelimasabyłabyujemna,todlatorów,poktórychcząstkawotoczeniu
punktów1i2poruszałabysiębardzoprędko,całkadziałaniaprzyjmowałabydowolnie
dużącodomodułuujemnąwartość,czyliniemiałabyminimum∗∗.
Wartozauważyć,że
v2=
dt
dl
2
=
dl2
dt2
.
(4.3)
Dlatego,abypodaćfunkcjęLagrange’a,wystarczyznaleźćkwadratelementudługości
łukuwodpowiednimukładziewspółrzędnych.Wewspółrzędnychkartezjańskichdl2=
dx2+dy2+dz2,dlatego
L=1
2m(˙
x2+˙
y2+˙
z2).
Wewspółrzędnychcylindrycznychdl2=dr2+r2dϕ2+dz2,astąd
L=1
2m(˙
r2+r2˙
ϕ2+˙
z2).
Wewspółrzędnychsferycznychdl2=dr2+r2d92+r2sin29dϕ2i
L=1
2m(˙
r2+r2˙
92+r2sin29˙
ϕ2).
(4.4)
(4.5)
(4.6)
∗Zapomocąpierwszychliteralfabetułacińskiegobędziemyoznaczaćindeksynumerującecząstki,
adlaindeksównumerującychwspółrzędnerezerwujemyliteryi,k,l...
∗∗Uwagapoczynionanas.10niezmieniategorozumowania,gdyżdlam<0całkaniemogłaby
teżmiećminimumwzdłużdowolniemałychczęścitoru.
