Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§2.Zasadanajmniejszegodziałania
11
Wyprowadzimyterazrównaniaróżniczkowe,którychrozwiązaniabędąminimalizo-
waćcałkę(2.1).Wceluuproszczeniazapisuwzorówzałóżmynarazie,żeukładma
jedenstopieńswobody,należywięcwyznaczyćjednątylkofunkcjęq(t).
Niechq=q(t)będziewłaśnietąfunkcją,dlaktórejSmaminimum.Oznaczato,
żeSbędziewzrastało,jeżelizastąpimyq(t)dowolnąfunkcjąpostaci
q(t)+δq(t),
(2.2)
gdzieδq(t)jestfunkcjąmałąwcałymprzedzialeczasuodt1dot2(funkcjętęnazywa
sięwariacjąfunkcjiq(t));ponieważdlat=t1it=t2wszystkiefunkcjeporównawcze
(2.2)winnyprzyjmowaćwartościq(1)iq(2),zatemwariacjaδq(t)powinnaspełniać
warunki
δq(t1)=δq(t2)=0.
(2.3)
Zastąpienieqprzezq+δqpowodujezmianędziałaniaSokreślonąprzezróżnicę
t2
t2
∫
L(q+δq,˙
q+δ˙
q,t)dt–
∫
L(q,˙
q,t)dt.
t1
t1
Rozwinięciewyrażeniapodcałkowegowpowyższejróżnicywszeregpotęgowywzglę-
demδqiδ˙
qzaczynasięodwyrazówpierwszegorzęduwzględemwariacji.Znikanietych
wyrazówjestwarunkiemkoniecznym,ażebySprzyjmowałominimum∗;całkaztych
wyrazównazywasiępierwsząwariacjąlubpoprostuwariacjącałkiS.Zasadęnajmniej-
szegodziałaniamożnawięczapisaćwpostaci
δS=δ
∫
t1
t2
L(q,˙
q,t)dt=0
(2.4)
lub,korzystajączdefinicjiwariacjicałki,wpostaci
∫
t1
t2
∂L
∂q
δq+
∂L
∂˙
q
δ˙
qdt=0.
Zauważmy,żeδ˙
q=
dt
d
δq,całkującwięcdrugiwyrazprzezczęści,otrzymujemy
δS=
∂L
∂˙
q
δq
l
l
l
l
t2
t1
+
∫
t1
t2
∂L
∂q
–
dt
d
∂L
∂˙
qδqdt=0.
(2.5)
Wpowyższymwyrażeniunamocywarunku(2.3)znikapierwszywyraz.Pozostały
wyrazjestcałką,którapowinnaznikaćprzydowolnychwartościachwariacjiδq.Jestto
możliwetylkowtedy,gdywyrażeniepodcałkowejesttożsamościoworównezeru.Tak
więcotrzymujemyrównanie
dt
d
∂L
∂˙
q
–
∂L
∂q
=0.
∗Ogólnieekstremum[lubwartośćstacjonarną—przyp.tłum.].
