Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
1.Ciałaformalnierzeczywiste
Przykład1.1.13.Jeślid<0jestbezkwadratowąliczbącałkowitą,tociało
Q(√d)niejestformalnierzeczywiste,gdyż
−1=12+...+12
\
\f
/
+(√d)2∈ΣQ(√d)∗2.
1d11
ZatemciałoQ(√d)niemożebyćuporządkowane.
Przykład1.1.14.DowolnyporządekPciałaKmożnarozszerzyćdopo-
rządkuciałafunkcjiwymiernychK(X),przyjmując
P∞={
bmXm+...+b1X+bo
anXn+...+a1X+ao
∈K(X):anbm∈P}.
InnymrozszerzeniemtegoporządkuPjestzbiór
P1∞={
bmXm+...+b1X+bo
anXn+...+a1X+ao
∈K(X):(−1)n1manbm∈P}.
Wpodrozdziale4.2pokażemy,żeporządekPmanieskończeniewieleprze-
dłużeńwcieleK(X).
Wypadazauważyć,żejeśliciałoKniemażadnegoporządku,torównież
ciałoK(X)niemożebyćuporządkowane.
Wiadomo,żeK(X)jestciałemułamkówpierścieniawielomianówK[X],
któryjestpierścieniemzjednoznacznymrozkładem.Ztegofaktuwynika,że
(X−a)(X−b)niejestkwadratemwcieleK(X),gdyajb∈Kia/=bjzatem
(X−a)K(X)∗2/=(X−b)K(X)∗2.JeśliciałoKjestnieskończone(np.ma
charakterystykęzero),to{(X−a)K(X)∗2:a∈K}jestnieskończonym
zbioremelementówgrupyklaskwadratówciałaK(X).Stądwynika,że
|K(X)∗/K(X)∗2|=∞.Możnarównieżpokazać,żegrupaklaskwadratów
ciałafunkcjiwymiernychnadciałemskończonymjestnieskończona.
Przykład1.1.15.Łatwomożnawskazaćnieskończeniewieleporządków
ciałaQ(X).Opróczporządkówskonstruowanychwpoprzednimprzykła-
dzie,istniejąporządkiindukowanepoprzezzanurzeniaQ(X)wciałoliczb
rzeczywistych.Dladowolnejliczbyrzeczywistejprzestępnejaodwzorowanie
ιł:Q(X)−→Rjιł(
f
g)=
g(a)
f(a)
dla
f
g
∈Q(X)j
jestzanurzeniemciałaQ(X)wciałoR.Zatem
Pł=ι
ł(R∗2)={
11
g
f
∈Q(X):
f(a)
g(a)
>0}
