Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
1.Ciałaformalnierzeczywiste
JeśliTjestpraporządkiemwcieleK,tonacieleKmożnazdefiniować
relację<Tjprzyjmując:a<Tb⇐⇒b−a∈T.Relacjatajestrelacjączę-
ściowegoporządkuzgodnązdziałaniamiwcieleKjtzn.spełniającąwarunki
(1)oraz(2)definicjiciałauporządkowanego(definicja1.1.1).Poniżejzoba-
czymy,żetenczęściowyporządekmożnarozszerzyćdoporządkuliniowego
ciałaK.
Stwierdzenie1.3.8.KażdypraporządekciałaKzawartyjestwmaksy-
malnym(względemrelacjizawierania)praporządkuciałaK.Praporządek
TciałaKjestmaksymalnympraporządkiemwtedyitylkowtedy,gdyjest
porządkiemciałaK.KażdypraporządekciałaKzawartyjestwpewnym
porządkuciałaK.
Dowód.Sumadowolnej,liniowouporządkowanej(przez⊆)rodzinyprapo-
rządkówciałaKjestpraporządkiemciałaK.ZatemzlematuKuratowskie-
go–Zornawynika,żekażdypraporządekciałaKzawartyjestwmaksy-
malnympraporządkutegociała.Porządekjest,oczywiście,maksymalnym
praporządkiem(por.uwagi1.1.5).Załóżmyteraz,żeTjestmaksymalnym
praporządkiemciałaK.Należypokazać,żeT∪−T=K∗.Przypuśćmy,że
x∈K∗ix/∈T∪−T.Wtedy,napodstawielematu1.3.3,T[x]jestpra-
porządkiemzawierającymT.Otrzymaliśmysprzecznośćzmaksymalnością
T,gdyżx∈T[x],leczx/∈T.Drugaczęśćtezywynikazfaktu,żekażdy
praporządekzawartyjestwmaksymalnympraporządku.
I
Wniosek1.3.9.JeśliTjestpraporządkiemciałaKoraz−x/∈T,toist-
niejetakiporządekPciałaK,żeT⊆Pix∈P.
Dowód.Wynikazestwierdzenia1.3.8dlapraporządkuT/=T[x].
I
ZbiórwszystkichporządkówciałaKzawierającychdanypraporządek
ToznaczaćbędziemyX(K/T).Ponieważkażdyporządekciałauporządko-
wanegozawierawszystkieniezerowesumykwadratów,więcX(K/ΣK∗2)
jestzbioremwszystkichporządkówciałaK.Wtejsytuacjibędziemypisa-
lipoprostuX(K).Terazmożemyjużsformułowaćiudowodnićpierwsze
twierdzenieArtina–Schreiera.
Twierdzenie1.3.10(Artina–Schreiera).CiałoKmaporządekwtedyityl-
kowtedy,gdyjestformalnierzeczywiste,tzn.
X(K)/=∅⇐⇒−1/∈ΣK
∗2.
