Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
1.Ciałaformalnierzeczywiste
KażdyelementciałaK((X))możnajednoznaczniezapisaćwpostaci
aXn(1+a1X+a2X2+...)jgdziea∈K∗jn∈Z.
(1.5)
Korzystającztegoprzedstawienia,możnałatwoscharakteryzowaćteszeregi
formalne,któresąkwadratami(sumamikwadratów).
Stwierdzenie1.2.1.Załóżmy,żeKjestciałemcharakterystykiróżnejod
2.Każdyszeregpostaci1+a1X+a2X2+...jestkwadratemwciele
K((X)).Jeśliszeregfmapostać(1.5),to
f∈K((X))∗2⇐⇒n∈2Zoraza∈K∗2.
JeśliponadtoKjestciałemformalnierzeczywistym,to
f∈ΣK((X))
∗2⇐⇒n∈2Zoraza∈ΣK∗2.
Wniosek1.2.2.CiałoK((X))jestformalnierzeczywistewtedyitylkowte-
dy,gdyciałoKjestformalnierzeczywiste.
Dowódzarównostwierdzenia1.2.1,jakiwnioskujestelementarnyipo-
zostawiamygoCzytelnikowi(zob.zadanie10).
Wniosek1.2.3.JeśliKjestciałemcharakterystykiróżnejod2,toistnie-
jeizomorfizmgrupK((X))∗/K((X))∗2∼
=Z/2Z×K∗/K∗2.Jeśliponadto
Kjestciałemformalnierzeczywistym,toistniejerównieżizomorfizmgrup
K((X))∗/ΣK((X))∗2∼
=Z/2Z×K∗/ΣK∗2.
Dowód.Przyporządkowanie
aXn(1+a1X+a2X2+...)K((X))∗2l−→(n+2ZjaK∗2)
ustalaizomorfizmmiędzygrupamiK((X))∗/K((X))∗2iZ/2Z×K∗/K∗2.
Podobnieprzyporządkowanie
aXn(1+a1X+a2X2+...)ΣK((X))∗2l−→(n+2ZjaΣK∗2)
wyznacza
izomorfizmpomiędzygrupamiK((X))∗/ΣK((X))∗2oraz
Z/2Z×K∗/ΣK∗2,gdyciałoKjestformalnierzeczywiste.
I
