Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
36
1.Ciałaformalnierzeczywiste
Dowód.
Stwierdzenie(1)wynikawprostzpoprzedniegotwierdzenia
przezzastosowanieindukcjiwzględemnjnatomiaststwierdzenie(2)wynika
zpierwszejczęściorazwniosku1.6.4.
I
Przykład1.6.8.Wprzykładzie1.1.9pokazaliśmy,żeciałoQ(√d)maco
najmniejdwaporządki,oiledjestliczbąnaturalnąbezkwadratową.Teraz
jużwiemy,żemadokładniedwaporządki.
Nazakończenietejczęścipokażemy,jakdladowolnegon∈Nmożna
łatwoskonstruowaćrozszerzeniemultikwadratowestopnia2n.Wdowodzie
tegofaktuskorzystamyznastępującegolematu.
Lemat1.6.9.NiechKbędzieciałemułamkówpierścieniazjednoznacz-
nymrozkłademSjcharK/=2orazniechPbędziezbioremreprezentantów
klaselementówstowarzyszonychelementównierozkładalnychpierścieniaS.
Jeślielementd∈SjestiloczynemparamiróżnychelementówzbioruPoraz
√d∈K(√p1j...j√ps),towtymrozkładzieelementudwystępująjedynie
elementyzbioru{p1j...jps}.
Dowód.Zastosujemyindukcjęwzględem5.Dla5=0jesttooczywi-
ste.Załóżmyteraz,że5>0oraztezalematujestprawdziwadlaL=
K(√p1j...j√ps).Niechps+1∈Pbędzieelementemróżnymodp1j...jps.
Zzałożeniaindukcyjnego√ps+1/∈Ljawięcjeśli√d∈L(√ps+1)jtoistnieją
jednoznaczniewyznaczoneajb∈Ltakie,że√d=a+b√ps+1.Podnosząc
obiestronytejrównościdokwadratu,otrzymujemyd=(a2+b2ps+1)+
2ab√ps+1.Zatem2ab=0oraza2+b2ps+1=d.Rozważmydwaprzypadki:
1.Jeślia=0jtob2ps+1=d.Jeślips+1łdjtoddps+1=bps+1∈Ljco
jestsprzecznezzałożeniemindukcyjnym.Jeślips+1|djtodd/ps+1=b∈L
izzałożeniaindukcyjnegowynika,żewrozkładzieelementudwystępują
jedynieelementyp1j...jpsjps+1.
2.Jeślib=0jtoa2=d.Zatem√d∈Lizzałożeniaindukcyjnego,
drozkładasięnaelementynierozkładalnenależącedozbioru{p1j...jps}.
I
Wniosek1.6.10.Przyzałożeniachlematu1.6.9mamy
[K(√p1j...j√ps):K]=2s.
Ponadto,jeśliKjestciałemuporządkowanym,tokażdyporządekPciała
KmożnaprzedłużyćdoporządkuciałaK(√p1j...j√ps)na2ssposobów.
