Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Sygnatury,oszacowanieliczbyporządków
29
Twierdzenie1.4.1.NiechTbędziepraporządkiemciałaformalnierzeczy-
wistegoK.
(1)|X(K/T)|<∞⇐⇒|K∗/T|<∞.
(2)JeśligrupaK∗/Tjestskończona,toistniejetakaliczbanaturalnan,
że|K∗/T|=2noraz
n<|X(K/T)|<2n11.
(1.6)
Dowód.(1).PonieważSgnY:K
∗/T−→{1j−1}YwzględemY=X(K/T)
jestmonomorfizmem,więc|K∗/T|<2|X(K/T)|.ZatemjeśliX(K/T)
jestzbioremskończonym,togrupaK∗/Tjestskończona.JeślizaśK∗/T
jestgrupąskończoną,togrupaHom(K∗/Tj{1j−1})jestrównieżgrupą
skończonąiróżnowartościowośćodwzorowaniaΦTimplikuje|X(K/T)|=
|ΦT(X(K/T))|<∞.
(2).Jeśli|K∗/T|<∞jto|K∗/T|=|Hom(K∗/Tj{1j−1})|=2njgdzie
n=dimF
2K∗/T.Zrozumowaniaprzeprowadzonegowpierwszejczęścido-
woduwynika,że
2n<2|X(K/T)|jtzn.n<|X(K/T)|.
ZbiórH={σ∈Hom(K∗/Tj{1j−1}):σ((−1)·T)=1}jestpodgrupą
oindeksie2grupyHom(K∗/Tj{1j−1}).ZdefinicjiΦTwynika,żezbiór
ΦT(X(K/T))zawierasięwzbiorze
A={σ∈Hom(K∗/Tj{1j−1}):σ((−1)·T)=−1}j
będącymwarstwąwzględemH.Zatem
|X(K/T)|=|ΦT(X(K/T))|<|A|=2n11.
I
Wniosek1.4.2.Załóżmy,żeKjestciałemformalnierzeczywistym.
(1)|X(K)|<∞⇐⇒|K∗/ΣK∗2|<∞.
(2)JeśligrupaK∗/ΣK∗2jestskończona,toistniejetakaliczbanatural-
nan,że|K∗/ΣK∗2|=2noraz
n<|X(K)|<2n11.
(1.7)
Dowód.Zastosowaćtwierdzenie1.4.1dopraporządkuT=ΣK∗2.
I
Oszacowanie(1.7)jestnajlepszezmożliwych.Górneoszacowaniereali-
zujesiędlaciałaK=R((X1))...((Xn11)),zwniosku1.2.5bowiemwynika,
