Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4.(aja>≥0dlakażdegoa∈V.
5.(aja>=0wtedyitylkowtedy)gdya=o.
Niecha=[a1ja2j...jan]orazb=[b1jb2j...jbn];gdzien∈Niajb∈V.
WtedyiloczynskalarnywprzestrzeniVwyznaczanyjestwedługnastępującej
formuły:
n
(ajb>=a1b1+a2b2+...+anbn=
Σ
aibi.
il1
Przestrzeńliniowazwprowadzonymdoniejiloczynemskalarnymnazywana
jesttakżeprzestrzeniąunitarną;wktórejmożliwejestdefiniowanietakichpojęć;
jakkąt;długośćwektora(czylinormaelementuprzestrzeni)lubortogonalności
elementów.Przestrzenieunitarne;zupełnezewzględunametrykęgenerowaną
przeznormę(zależnąodiloczynuskalarnego);sąprzestrzeniamimetrycznymi
inazywanesątakżeprzestrzeniamiHilberta.
Definicja2.4.NiechVbędzieprzestrzeniąliniowąnadciałemK.Wektory
v1jv2j...jvntejprzestrzeni)gdzien∈N)sąliniowoniezależnewtedyitylko
wtedy)gdyzwarunku01v1+02v2+...+0nvn=odladowolnychwspółczynni-
ków01j02j...j0n∈Kwynika)żejedynymitakimiwspółczynnikamisąskalary
owartościach01=02=...=0n=0.
Definicja2.5.NiechVbędzieprzestrzeniąliniowąnadciałemK.Wektory
v1jv2j...jvntejprzestrzeni)gdzien∈N)sąliniowozależnewtedyitylko
wtedy)gdyV
αi/lo(czyliniewszystkiewspółczynnikirównocześniesązerami))
dlaktórychspełnionajestrówność01v1+02v2+...+0nvn=o.Oznaczato)
żewektorvimożebyćwpisanywliniowyzwiązekzinnym.
Definicja2.6.Układv1jv2j...jvnliniowoniezależnychwektorówprzestrzeni
nazywasięukłademmaksymalnymtejprzestrzeni)jeżeliwwynikudołączenia
dotegoukładudowolnegowektoravn+1otrzymamyukładwektorówliniowoza-
leżnych.
Napodstawiewymienionychpowyżejdefinicjimożnaprzedstawićważne
właściwościwektorówliniowozależnychiliniowoniezależnych.
20
