Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
NiechVbędzieprzestrzeniąliniowąnadciałemKorazniechajv1jv2j...jvn
będąwektoramitejprzestrzeni.NiechWbędziepodprzestrzeniąliniowąprze-
strzeniV;zbudowanąnadtymsamymciałemK;wówczas[16;31]:
Żwektorajestliniowoniezależnywtedyitylkowtedy;gdya/=o7
Żwektoryojv1jv2j...jvnsąliniowozależne7
Żjeżeliwektoryv1jv2j...jvnsąliniowozależne;towektoryajv1jv2j...jvnsą
równieżliniowozależne7
Żjeżeliwektoryv1jv2j...jvn∈Wsąliniowozależne(niezależne)wprzestrzeni
V;tosąrównieżzależne(niezależne)wprzestrzeniW.
Definicja2.7.NiechVbędzieprzestrzeniąliniowąnadciałemK.Niech
v1jv2j...jvn∈Voraz01j02j...j0n∈K)wtedywektorb=01v1+02v2+
...+0nvnnazywasiękombinacjąliniowąwektorów.
Warunkiemwystaczającymnato;abywektoryv1jv2j...jvn∈V;dlan≥2;
byłyliniowozależnejestwarunek;abyconajmniejjedenznichbyłkombinacją
liniowąpozostałych.GdytakiejkombinacjiliniowejniemożnaznaleŹć;wek-
torysąniezależne.Opisywanywarunekmożnarównieżodnieśćdoprzestrzeni
nieskończeniewymiarowych.Nieskończonyzbiórwektorówprzestrzeniliniowej
V
∞jestliniowoniezależny;jeżelikażdyjegoskończonypodzbiórwektorówjest
liniowoniezależny.Gdytakniejest;zbiórtakichwektorówjestliniowozależny.
202010Przestrzeńeuklidesowa
Definicja2.8.Przestrzeńliniowa)wktórejzostałwprowadzonyiloczynska-
larny)nazywanajestprzestrzeniąeuklidesowąE.
Przykład2.2.Przywołującdefinicjepodanewpoprzednimparagrafie)można
łatwowykazaćzależnośćlubniezależnośćróżnychwektorów:
1.WprzestrzenieuklidesowejRnwektorye1=[1j0j...j0]je2=[0j1j...j0]j...j
en=[0j0j...j1]sąliniowoniezależne.Dodatkowowektorytestanowiąukład
maksymalnytejprzestrzeni.
21
