Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.PEWNEELEMENTARNENIERÓWNOŚCI
7
1.1.24.NiechxbędziedowolnąliczbąniewymiernąiniechRnoznaczan-tyre-
duktrozwinięciatejliczbynaułamekłańcuchowyokreślonywzadaniu1.1.20.
Udowodnić,żekażdynastępnyreduktdajelepszeprzybliżenieliczbyxniżpo-
przedni,toznaczywykazaćnastępującąnierówność
|x−Rn+1|<|x−Rn|,
nl0,1,2,...
1.1.25.Udowodnićnastępująceprawonajlepszegoprzybliżenia:
Jeżeliliczbawymierna
r
s
,r∈Z,s∈N,jestlepszymprzybliżeniemliczbyxniż
jejreduktRn,tomianownikstejliczbyjestwiększyodmianownikareduktuRn.
1.1.26.Znaleźćrozwinięcianaułamkiłańcuchoweliczb√2,(√5−1)/2.
1.1.27.Niechkbędzieliczbąnaturalną.Znaleźćrozwinięcienaułamekłańcu-
chowyliczby√k2+k.
1.1.28.Znaleźćwszystkieliczbyx∈(0,1),którychrozwinięcianaułamkiłańcu-
chowemająpierwszemianownikia1(patrzzadanie1.1.20)równedanejliczbie
naturalnejn.
1.2PEWNEELEMENTARNENIERÓWNOŚCI
1.2.1.Wykazać,żejeśliliczbyak>−1,kl1,...,n,majątensamznak,to
(1+a1)(1+a2)·...·(1+an)≥1+a1+a2+...+an.
Uwaga.Zauważmy,żejeślia1la2l···lanla,tootrzymujemyznaną
nierównośćBernoulliego:
(1+a)n≥1+na
dla
a>−1.
1.2.2.Udowodnićmetodąindukcjimatematycznejnastępującetwierdzenie:
Jeślia1,a2,...,ansąliczbamirzeczywistymidodatnimitakimi,żea1a2·...·anl
1,toa1+a2+...+an≥n.
1.2.3.NiechAnoznaczaśredniąarytmetyczną,Gn–średniągeometrycznąiHn
–średniąharmonicznąnliczbdodatnicha1,a2,...,an,tzn.
Anl
a1+a2+...+an
n
,
Gnln
√a1·...·an,
Hnl
a1
1
+
a2
1
+...+
n
an
1
.
Wykazać,żeAn≥Gn≥Hn.
