Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2
CIĄGILICZB
RZECZYWISTYCH
2.1CIĄGIMONOTONICZNE
DEFINICJA1.Ciągliczbrzeczywistych{an}nazywamyrosnącym,jeślidlakażdego
n∈N
an+1≥an.
Jeślinatomiastdlakażdegon∈Nmamy
an+1>an,
tomówimy,żeciąg{an}jestściślerosnący.
Podobniedefiniujemyciągmalejącyiściślemalejący.
Ciągirosnąceimalejąceobejmujemywspólnąnazwąciągówmonotonicznych.
2.1.1.Wykazać,że
(a)jeśli{an}jestciągiemrosnącym,tolim
nąż
anlsup{an:n∈N},
(b)jeśli{an}jestciągiemmalejącym,tolim
nąż
anlinf{an:n∈N}.
2.1.2.Niecha1,a2,...,apbędądowolnieustalonymiliczbamirzeczywistymido-
datnimiirozważmyciągiowyrazach
snl
an
1+an
2+...+an
p
p
oraz
xnln
√sn,
n∈N.
Udowodnić,że{xn}jestciągiemrosnącym.
Wskazówka.Wykazaćnajpierwmonotonicznośćciąguowyrazach
sn11
sn
,n≥2.
2.1.3.Wykazać,żeciągowyrazachanl
2n
n
,n>1,jestściślemalejącyiobliczyć
jegogranicę.
