Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.GRANICACIĄGU.WŁASNOŚCICIĄGÓWZBIEŻNYCH
21
2.1.42.Wykazać,żedladowolnieustalonejliczbyrzeczywistejdodatniejx,ciąg
owyrazach
anlx
2n,
1
n∈N,
jestmonotoniczny(ściślerosnącydlax<1,ściślemalejącydlax>1)iogra-
niczony.Następnieprzyjmując
cnl2
n(an−1),
dnl2
n(1−
an),
1
n∈N,
udowodnić,żedlax>1ciąg{cn}jestściślemalejący,aciąg{dn}ściślerosnący
iobateciągimajątęsamągranicę.
2.2GRANICACIĄGU
WŁASNOŚCICIĄGÓWZBIEŻNYCH
2.2.1.Obliczyć
(a)lim
√12+22+...+n2,
n
(b)lim
nąż
n+sinn2
n+cosn
,
nąż
(c)lim
nąż
112+314+...+(12n)
√n2+1
,
(d)lim
nąż
(√2−3
√2)(√2−5
√2)·...·(√2−2n+1
√2),
(e)lim
nąż
2Vn
n
,
(f)
nąż
lim
2n2
n!
,
(g)lim
nąż
√n(1
1
√1+√3
+
√3+√5
1
+...+
√2n11+√2n+1),
1
(h)lim
nąż(
n2+1
1
+
n2+2
2
+...+
n2+n),
n
(i)
nąż(
lim
n3+1
n
+
n3+2
2n
+...+
n3+n).
nn
2.2.2.
Niechs,pbędąustalonymiliczbamirzeczywistymidodatnimi.Wykazać,że
nąż
lim
(1+p)n
ns
l0.
2.2.3.Niechobędziedowolnieustalonąliczbązprzedziału(0,1).Obliczyć
nąż
lim
((n+1)o−no).
2.2.4.Dladowolnieobranejliczbywymiernejoobliczyćgranicęlim
nąż
sin(n!oπ).
2.2.5.Pokazać,żenieistniejegranicalim
sinn.
nąż
2.2.6.Niechobędziedowolnieustalonąliczbąniewymierną.Pokazać,żenie
istniejegranicalim
nąż
sinnoπ.
