Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
Zbiórliczbpierwszychjestnieskończony.
Twierdzenie101(twierdzenieEuklidesa)0
Rozdział1.Arytmetykaliczbcałkowitych
Więcejnatematwielkościzbioruliczbpierwszychdowiadujemysięztwierdzenia
udowodnionegoprzezEulera
3
w1748roku.Twierdzenietopodajemyzdowodem
PaulaErd
osa
˝
4
z1938roku.W[
1
]możnaznale§ćwięcejrozważańnatematroz-
mieszczenialiczbpierwszych(por.także[
9
]).Wdowodziewystępujeoznaczenie
⌊a⌋
nacechęliczbyrzeczywistej
a
,zwanątakżepodłogąliczbyrzeczywistej.Takwięc
⌊a⌋=max{x∈Z:x⩽a}
.Przezanalogięmówimy,że
⌈a⌉=min{x∈Z:x⩾a}
jestsufitemliczbyrzeczywisteja.
Szereg∑
Twierdzenie102(Euler)0
p∈P
1
pjestrozbieżny.
Dowód(niewprost).Przypuśćmy,że
P={p1,p2,...}
jestzbioremwszystkichliczb
pierwszych,p1<p2<...,iszereg
n=1
∑
Ż
pn
1
jestzbieżny.Istniejewówczastakiek∈N,że
n⩾k+1
∑
pn
1
<
1
2
.
Nazwijmyliczbypierwsze
p1,p2,...,pk
3
LeonhardEuler(1707–1783).Jestjednymznajwybitniejszychmatematykówifzykówwszech
czasów.Opublikowałtakżeteorięmuzykiidziełoonawigacji.UrodziłsięBazylei,jednakwiększośćżycia
spędziłwRosjiiNiemczech.Jegonajważniejszedziełamatematycznedotycząanalizymatematycznej,
teoriiliczbialgebry.Byłuczonymniezwyklepłodnym,jednaknieliczbajegopublikacjijestnajważniejsza,
aichprzełomoweznaczenie.Uważasięgozatwórcęteoriigrafów.JegopracaSolutioadgeometriamsitus
pertinentis(1735),którajestuważanazapierwszązteoriigrafów,uznawanajesttakżezapierwszyartykuł
ztopologii.NaukowejaktywnościEuleraniezahamowałachorobaoczu,zktórązmagałsięod1735rokuina
skutekktórejutraciłwzrokw1766roku.Pracowałdoostatniegodniażycia,zaśjegopracebyływydawane
przezAkademięSanktPetersburgajeszczew50latpojegośmierci.
4
Paul(P
al)Erd
´
os(1913–1996).Wybitnymatematykwęgierski,autorlubwspółautorponad1500
˝
pracnaukowych.Głosiłpogląd,żeBógmaKsięgę,wktórejsązapisanenajpiękniejszedowodytwierdzeń
matematycznych.PoglądErd
osapodsunąłAignerowiiZieglerowipomysłnapisaniaksiążkiDowodyzKsięgi,
˝
wktórejzawartyjestprezentowanytudowódtwierdzenia1.2.
