Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1
Arytmetykaliczbcałkowitych
Wniniejszymrozdzialeprzypominamyniektóredefnicjeiwłasnościliczbcałko-
witych,którepotrzebnebędąwdalszymciąguwykładu.Twierdzenia,którepoda-
myiudowodnimy,sączęstoszczególnymiprzypadkamitwierdzeńogólniejszych.
Rozpoczniemyjednakodomówieniaprzypadkówszczególnych,zewzględunaich
wykorzystaniewkolejnychrozdziałachksiążki.
1.1.Liczbypierwsze
Liczbąpierwsząnazywamyliczbęnaturalną
1
większąod1,którejniedasię
przedstawićwpostaciiloczynuconajmniejdwóchliczbnaturalnychróżnychod
0
i
1
.Zbiórliczbpierwszychoznaczaćbędziemyprzez
P={2,3,5,7,...}
.Znanebyły
jużwstarożytności.Dziękiswoimpraktycznymzastosowaniomwteoriiszyfrowania
(podrozdział3.4)stanowiąatrakcyjnyprzedmiotbadań.Liczbynaturalne,które
możnaprzedstawićjakoiloczynconajmniejdwóchliczbnaturalnych(różnychod
0
i1),nazywamyliczbamizłożonymi.
SzczególnieważnyjestpodanyprzezEuklidesa
2
fakt,żezbiórliczbpierwszych
jestnieskończony.
Rzeczywiście,przypuśćmy,żezbiórliczbpierwszychjestskończony,powiedzmy
P={p1,p2,...,pn}
.Oznaczałobyto,żekażdaliczbanaturalnaróżnaod
0
i
1
jest
podzielnaprzezconajmniejjednązliczbp1,p2,...,pn.Zdefniujmyliczbę
a=p1·p2·...·pn+1.
Widać,że
a
jestliczbąnaturalnąwiększąodkażdejzliczb
p1,p2,...,pn
iniejest
podzielnaprzezżadnąznich,bowiemresztazdzielenia
a
przez
pi
jestrówna
1
.
Udowodniliśmywtensposóbnastępującetwierdzenie.
1
Zaznaneprzyjmujemyzbioryliczboweiichoznaczenia.Wartouczynićjednakwyjątekdlazbio-
ruliczbnaturalnych
N
,ponieważbywaonrozmaiciedefniowany.Tuprzezliczbynaturalnerozumieć
będziemyliczbycałkowitenieujemne,awięcN={0,1,2,3,...}.
2
DokładnedatyurodzeniaiśmierciEuklidesaniesąznane.Urodziłsięokoło365,azmarłokoło
270rokup.n.e.
13
