Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Liczbypierwsze
małymiliczbamipierwszymi,zaś
pk+1,pk+2,...
15
dużymiliczbamipierwszymi.Dlakażdegonaturalnego
N
prawdziwabyłaby
nierówność
i⩾k+1
∑
N
pi
<
N
2
.
(1.1)
DladowolnegoN∈Noznaczmyprzez:
Nd−liczbętychn⩽N(n∈N),któremająconajmniejjedendużydzielnik
pierwszy(czylidzielnikpierwszywzbiorze{pk+1,pk+2,...}),
Nm−liczbętychn⩽N(n∈N),któremajątylkomałedzielnikipierwsze.
Oczywiście
Nd+Nm=N.
Wykażemy,żeprzypuszczenie,iższereg
∑
p∈P1/p
jestzbieżny,prowadzidoostrej
nierówności
Nd+Nm<N
,cojestsprzecznością,którazakończydowódtwierdze-
nia1.2.
Zauważmy,że
⌊N/pi⌋
jestliczbątychliczbnaturalnych,któresąpodzielneprzez
pi
iniesąwiększeodN5.
Stądiznierówności(1.1)wynikanastępująceoszacowanieliczbyNd:
Nd⩽∑
i⩾k+1
⌊N/pi⌋<
N
2
.
Niechn⩽N,n∈Nm(przypuszczamy,żeliczbanmatylkomałedzielniki).Zapisz-
mynwpostaci
n=anb
2
n,
gdzie
an
jestiloczynemróżnychmałychdzielnikówpierwszychliczby
n
.Czynnik
an
nazwiemyczęściąbezkwadratową,zaś
b2
n
częściąkwadratową.Takichczęścibezkwadra-
towychmożebyćconajwyżej
2k
,bowiemróżnychmałychdzielnikówjest
k
.Każdy
znichwanmożepojawićsięconajwyżejjedenraz.
Prawdziwesąnierówności
bn⩽√n⩽√N,
zktórychwynika,żeróżnychczęścikwadratowychjestconajwyżej√N.
Stąd
Nm⩽2k√N.
(1.2)
5
Rzeczywiście,przypuśćmy,że
N=!pi+r
,gdzie
0⩽r<pi
.Wówczas
⌊N/pi⌋=!
.Jednocześnie,
liczbaminaturalnyminiewiększymiodNipodzielnymiprzezpisąpi,2pi,3pi,...,!pi.Awięctychliczb
jestdokładnie!.
