Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
42
CzęśćI.Zagadnieniaogólne
strzeniilorazowejsązdefiniowanewnastępującysposób:
π(x)+π(g)=π(x+g)j
Oπ(x)=π(Ox).
(1)
(Należypamiętać,żeOπ(x)=NdlaO=0,inaczejniżwstandardowej
notacjipodanejwparagrafie1.4.)Operacje(1)sądobrzezdefiniowanedzięki
temu,żeNjestprzestrzeniąliniową:jeśliπ(x)=π(x′)(tj.x−x′∈N)
iπ(g)=π(g′),to
π(x)+π(g)=π(x′)+π(g′)j
Oπ(x)=Oπ(x′).
(2)
ZeremprzestrzeniX/Njestπ(0)=N.Zewzoru(1)widzimy,żeπjestod-
worowaniemliniowymXnaX/N,któregojądremjestN;πczęstonazywa
sięodwzorowaniemilorazowymzXnaX/N.
TerazniechTbędzietopologiąliniowąnaXiniechNbędziedomknię-
tąpodprzestrzeniąwX.NiechTNbędzierodzinązbiorówE⊂X/N,dla
którychπ11(E)∈T.Okazujesię,żeTNjesttopologiąnax/N,którąnazy-
wamytopologiąilorazową.Niektórewłasnościtejtopologiipodajemywna-
stępnymtwierdzeniu(pamiętamy,żeodwzorowanieotwartejesttoodwzo-
rowanieprzeprowadzającezbioryotwartenazbioryotwarte).
1.41.Twierdzenie.NiechNbędziedomkniętąpodprzestrzeniąprzestrzeni
liniowotopologicznejX.NiechTbędzietopologiąXiniechTNbędzietakie
jakwpoprzednimparagrafie.
(a)TNjesttopologiąliniowąnaX/Niodwzorowanieilorazoweπ:X→
X/Njestliniowe,ciągłeiotwarte.
(b)JeśliBjestbaząotoczeńdlaT,torodzinazbiorówπ(V)przyV∈Bjest
baząotoczeńdlaTN.
(c)Każdazwłasności:lokalnawypukłość,lokalnaograniczoność,metryzo-
walność,normowalność,jestdziedziczonaprzezX/NzX.
(d)JeśliXjestF-przestrzenią,przestrzeniąFréchetalubprzestrzeniąBa-
nacha,toX/Ntakże.
Dowód.Jakożeπ11(A∩B)=π11(A)∩π11(B)oraz
π11(UEA)=Uπ11(EA)j
TNjesttopologią.ZbiórF⊂X/NjestTN-domkniętywtedyitylkowte-
dy,gdyπ11(F)jestT-domknięty.WszczególnościkażdypunktX/Njest
domknięty,gdyż
π11(π(x))=x+Nj
aoNzałożyliśmy,żejestdomknięta.
CiągłośćπwynikabezpośredniozdefinicjiTN.DalejweźmyV∈T.
Mamy
π11(π(V))=N+Vj
