Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Liczbyrzeczywiste
21
TWIERDZENIE1.2.LiczbasPRjestkresemgórnymniepustegozbioruAwtedy
itylkowtedy,gdy
(i)@xPAxďs,
(ii)@s1PR,s1ăsDxPAxąs1.
Podobnie
TWIERDZENIE1.3.LiczbaiPRjestkresemdolnymniepustegozbioruAĂR
wtedyitylkowtedy,gdy
(i)@xPAxěi,
(ii)@i1PR,i1ąiDxPAxăi1.
JeślizbiórAĂRmaliczbęnajwiększą(najmniejszą),tojestonajego
kresemgórnym(dolnym).JednaksupAmożenienależećdoA(infAmoże
nienależećdoA).
Wszystkiewłasnościzbioruliczbrzeczywistychznaneznaukiszkolnej
dająsięwydedukowaćzaksjomatów(A.1)-(A.14)(niebędziemyichwy-
prowadzać).Pokażemytylkopewnewłasności,którebędąistotnewdal-
szychrozważaniach,awynikajązpowyższychaksjomatów.
TWIERDZENIE1.4.ZbiórNliczbnaturalnychniejestograniczonyzgóry.
DOWÓD.Przypuśćmy,żezbiórNjestograniczonyzgóryorazniech
MPRbędziejegoograniczeniemgórnym.Obierzmydowolnieliczbę
nPN.Wtedyn`1PNin`1ďM,czylinďM´1.Pokazaliśmy
zatem,żeliczbaM´1jestrównieżograniczeniemgórnymzbioruN.Wi-
daćwięc,żezbiórograniczeńgórnychzbioruNniemaliczbynajmniejszej,
cojestsprzecznezaksjomatemciągłości.
˝
9.Częśćcałkowitaliczby
TWIERDZENIE1.5.DlakażdejliczbyxPRistniejedokładniejednaliczbanPZ
taka,żenďxăn`1.Krócejbędziemypisać
@xPRD!nPZnďxăn`1.
DOWÓD.Pokażemynajpierwistnienieliczbyn.UstalmyliczbęxPR.
DladanegoxniechA“tkPZ:kďxu.ZbiórAjestograniczonyzgóry
