Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2i4iAnalizasystemówopisanychrównaniamiróżniczkowymi
2.4.2.Odpowiedźukładunawymuszenieharmoniczne
39
Zauważmy,żestanprzejściowysystemunawymuszeniewpostacifunkcjiimpulso-
wejlubskokujednostkowegozczasemzanikaiTęwłaściwośćmająstabilneukłady
linioweiDomyślamysię,żejesttowynikiemzanikuzmianwymuszeniaiInteresujące
jestzatembadanieodpowiedzisystemuprzywymuszeniuharmonicznym(sinusoidal-
niezmiennym)iWyjaśniatonastępującyprzykładi
Przykład2.9.
Określićodpowiedźukładurozważanegowprzykładzie2i6nasygnało
postaci:
u
(
t
)
±
A
sin
(
ω
0
t
+
I
)
i
Przypomnijmy,żewprzykładzie2i6rozważanyjestukład,któregojednorodnerównanieróż-
niczkowemanastępującąpostać:
d
y
+
1
y
±
0
i
d
t
T
Wprzykładzie2i6otrzymaliśmynastępującąfunkcjęwagi:
gt
()
±
e
-
tT
/
1()
t
tegoukładuiPozo-
stajezatemobliczeniecałki(2i35)dlazadanegowymuszeniaharmonicznego(przyzerowych
warunkachpoczątkowych):
yt
()
±
∫
t
u
()(
t
gt
-
tt
)d
=
∫
t
A
sin
(
ωtu
0
+
)
|
e
-
(
t
-
T
t
)
d
t
=
A
e
-
tT
/
∫
t
sin
(
ωtu
0
+
)
|
e
t
/
T
d
t
i
0
0
0
Ponieważ
sin
(
ω
0
t
+
I
)
±
sin
(
ω
0
t
)
cos
I
+
cos
(
ω
0
t
)
sin
I
,więc:
yt
()
±
A
e
-
tT
/
(
|
k
cos
u
0
∫
t
sin
(
ωt
0
)
|
e
t
/
T
d
t
+
sin
u
∫
t
0
cos
n
(
ωt
0
)
|
ed
t
/
T
t
N
|
)
i
Doobliczeniapowyższychcałekmożnaskorzystaćzmetodycałkowaniaprzezczęści,codaje:
∫
0
t
sin
(
ωt
0
)
|
e
t
/
T
d
t
±
ω
0
2
+
1
1/
T
2
(
|
k
e
tT
/
(
|
k
T
1
sin
ω
0
t
-
ω
0
cos
ω
0
t
N
|
)
+
ω
0
N
|
)
,
∫
0
t
cos
(
ωt
0
)
|
e
t
/
T
d
t
±
ω
0
2
+
1
1/
T
2
(
|
k
e
tT
/
(
|
k
ω
0
sin
ω
0
t
+
T
1
cos
ω
0
t
N
|
)
-
T
1
N
|
)
i
Powykonaniuniezbędnychprzekształceńotrzymamyostatecznąodpowiedź:
gdzie:
yt
()
±
δ
ω
±
0
2
arctg
+
A
1/
(
T
ω
2
0
(
/(
sin
1
/
T
(
ω
)
)
0
i
t
+-
uδ
)
-
e
-
tT
/
sin
(
uδ
-
)
)
,
Widać,żeodpowiedźbadanegosystemunawymuszeniesinusoidalneskładasięzdwóchczę-
ści,zktórychpierwszaprzedstawiafunkcjęharmonicznąopulsacjirównejpulsacjifunkcji
wymuszającej,adrugaprzedstawiafunkcjęzanikającąwykładniczodozera(
y
sw
(
t
))iMaksy-
malnapoczątkowaamplitudaskładowejzanikającejwystępujedla
φ
=
δ
±π/2i
Narysi2i11sąpokazaneprzebiegisygnałuwymuszającego
u
(
t
),atakżeodpowiedzi
y
(
t
)i
odpowiedziprzejściowej
y
sw
(
t
)dlanastępującychparametrówukładu:
A
=10,
T
=0,05,
ω
0
=100
π
,
I
=
π
/4i
Przebiegiodpowiedzisąpowiększonestorazyi
