Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3i1iPrzekształcenieFouriera
45
WystarczającymwarunkiemistnieniatransformatyFourieraF(j
ω
)dladanejfunk-
cjif(t)jestspełnienieprzeztęfunkcjęostatniegozpodanychwarunkówDirichletadla
T→®[14]iTenwarunekjużniejesttakłatwospełnićidlategoistniejedużaklasa
funkcji,dlaktórychtransformataFourieranieistniejei
PrzekształcenieFourieraodgrywabardzoważnąrolęwzakresieprzetwarzaniasy-
gnałówciągłychidyskretnych,projektowaniafiltrów,atakżejakowydajnenarzędzie
dorozwiązywaniarównańróżniczkowychianalizysystemów[14,46]iWpraktycz-
nychzastosowaniachnajczęściejkorzystasięzróżnychwłaściwościprzekształcenia
orazznanychparprzekształceńF(j
ω
)ef(t)typowychfunkcji,którezostałyokreślone
napodstawiezależności(3i5)i(3i6)i
Przykład3.1.
OkreślićtransformatęFourieraimpulsuDiracai
Zgodniez(3i5)możemynapisać:
+®
+®
F
{
δ
()
t
}
±
∫
δ
()e
t
-
j
ω
t
d
t
±
e
-
j0
ω
±
1
,ale
F
{
δ
(
t
-
B
)
}
±
∫
δ
(
t
-
B
)e
-
j
ω
t
d
t
±
e
-
j
ωB
,
-®
-®
cowprostwynikaz(2i14)i
Wprzypadkuanalizysystemówsterowaniafunkcjawzględemczasujestograni-
czonadoprzedziału
0
Śt
<
®
,przyjmujączerowąwartośćpozanimiWobectegow
(3i5)granicęcałkowaniamożnatakżeograniczyćdotegoprzedziału:
F
(j)
ω
±
F
I
(j)
ω
±
+®
0
∫
ft
()e
-
j
ω
t
d
t
,
gdzieindeksIwskazujenaprzekształceniejednostronnei
(3i7)
MówimywówczasojednostronnymprzekształceniuFouriera,któremazastoso-
waniewanaliziesystemówdynamicznychiWspomnianeograniczenianieobejmują
dziedzinyczęstotliwości(pulsacji),więcprzekształcenieodwrotne(3i6)pozostajebez
zmianiOgraniczenieprzedziałucałkowaniaw(3i7)jestrównoważnepomnożeniu
funkcjiczasuprzezskokjednostkowy1(t)iMożnatozapisaćnastępująco:
F
I
{
f
(
t
)
}
±
F
{
f
(
t
)
1
(
t
)
}
i
(3i8)
Przykład3.2.
OkreślićjednostronnątransformatęFourierapochodnejfunkcjii
Korzystającz(3i8)orazstosująccałkowanieprzezczęści,otrzymamy:
F
I
{
f
'
(
t
)
}
±
F
{
f
'
(
t
)
1
(
t
)
}
±
+®
∫
f
'
(
t
)
e
-
j
ω
t
d
t
±
f
(
t
)
e
-
j
ω
t
®
0
+
j
ω
+®
∫
f
(
t
)
e
-
j
ω
t
d
t
±
j
ω
F
I
(
j
ω
)
-
f
(
0
)
i
0
0
Procedurętęmożnarozszerzyćnawyższepochodne:
F
I
{
f
(
n
)
(
t
)
}
±
(
j
ω
)
n
F
I
(
j
ω
)
-
f
(
n
-
1
)
(
0
)
-
j
ω
f
(
n
-
2
)
(
0
)
-
⋯
-
(
j
ω
)
n
-
2
f
'
(
0
)
-
(
j
ω
)
n
-
1
f
(
0
)
i
