Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Liczbycałkowiteiwymierne
3.a)Wyznaczwszystkieliczbynaturalnenotejwłasności,żeS(m)<S(n)dla
każdegonaturalnegom<n.
b)Wykaż,żejeżelim>0jestliczbąr-cyfrową,todlakażdejdodatniejliczby
naturalnejk<S(m)istniejer-cyfrowaliczbamniejszaodmosumiecyfr
równejk.
4.Pokaż,żedladowolnychliczbnaturalnychk,lim:
a)jeślik<S(m),toN(k)<m,
b)jeślim<N(k),toS(m)<k,
c)jeślik<l,toN(k)<N(l).
5.Danajestliczbanaturalnak.
a)Znajdźnajmniejsząliczbęnaturalnąn,dlaktórejS(S(n))=k.
b)Znajdźnajwiększąliczbęnaturalnąrtaką,żedlakażdejr-cyfrowejliczby
naturalnejmzachodzinierównośćS(S(S(m)))<k.
Bukiet3
1.a)Udowodnijnierówność10n−3>ndlan≥4.
53
b)Wykaż,żejeślin≥4,tonajmniejszaliczban-cyfrowajestwiększaodnaj-
większejmożliwejsumykwadratówcyfrliczbyn-cyfrowej.
2.Wykaż,żekażdaliczbatrzycyfrowajestwiększaodsumykwadratówswoich
cyfr.
3.Rozważmydowolnąliczbęnaturalnąwiększąod0.Utwórzmyciąg,którego
pierwszymwyrazemjesttaliczba,akażdynastępnywyrazjestrównysumie
kwadratówcyfrwyrazupoprzedniego(wzapisiedziesiętnym).Uzasadnij,że
wotrzymanymciągu:
a)wystąpiliczbajednocyfrowalubdwucyfrowa,
b)odpewnegomiejscawszystkiewyrazybędąrówne1lubwystąpiokresza-
wierającyliczbę4.
Bukiet4
56
Wtymbukieciedopuszczamyzapisdziesiętnyliczbynaturalnejzaczynający
sięodzer.Oznaczato,żezaliczbyn-cyfroweuważamyliczbyod0do10n−1.
Ponadto,dlakażdejliczbynaturalnejjestwówczasokreślonajejn-cyfrowakoń-
cówka,naprzykładczterocyfrowąkońcówkąliczby12jest0012.
7
