Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
c)
3E
xR
,sin2
x
±
2cos
x
.
>Mamytufunkcjęzdaniowąjednejzmiennej
px
()
:sin2
x
±
2cos
x
,zwa-
nąrównaniemtrygonometrycznym,którejdziedzinąjestzbiórliczbrzeczywi-
stych,tj.
D
p
±
R.
Rozwiązanietegorównaniajestzbioremniepustyminależydoniegonp.
x
±
π
.Rozpatrywanafunkcjazdaniowajestspełnionaprzeztęliczbę.Bio-
2
rącpoduwagę,żerównanietomożnaprzekształcićrównoważniedopostaci
iloczynowej
2cos
x
(
sin
x-
1
)
±,widać,żerozwiązaniemsąwszystkielicz-
0
byrzeczywistepostaci
x
±
π
2
+
k
π
,
vE
k
Z
±
{
0,1,2,
±±ł).Łatwospraw-
}
dzić,żepopodstawieniutychliczbdorównaniaotrzymujemyrównośćpraw-
dziwą020
±|.
Zatemzdanie
3E
x
R
,sin2
x
±
2cos
x
jestprawdziwe.
Jegozaprzeczenie(fałszywe)manapodstawiedrugiegoprawadeMorgana
(1.14)postać:
vE
x
R
,sin2
x
#
2cos
x
.■
d)
vE
x
R
,
x
2
2
0
^
x
2
-
2
x
+>
30
.
>Ocenawartościlogicznejtegozdaniazależyodrozwiązaniafunkcjizda-
niowejwystępującejzakwantyfikatorem,czylizbioru
{
x
E
R
:
x
2
2
0
^
x
2
-
2
x
+>
30
}
.
Napodstawie(1.16)
2zbiórtenmożnaprzedstawićwpostaci
{
x
E
R
:
x
2
2
0
}
m
{
x
E
R
:
x
2
-
2
x
+>
30
}
.
Występującetunierównościsątożsamościowe,tzn.ichrozwiązaniami
jestcaładziedzinaR,ponieważ:
x
2
2-ER,cowynikazwłasności
0
x
wartości
bezwzględnej
(
vE
x
R
,
x
2
±
x
2
0
),
x
2
-
2
x
+>-ER,
30
x
ponieważzwłasnościtrójmianukwadratowego,wktórymwspółczyn-
nikprzyxwnajwyższejpotędze,równy1,jestwiększyodzeraiwyróż-
niktegotrójmianu
∆±-
()
2
2
-||±-
4134120
<
lubzpostacikanonicznej
x
2
-
2
x
+±
3
(
x
-
1
)
2
+.
1
Stwierdzamywięc,że
{
x
E
R
:
x
2
2
0
^
x
2
-
2
x
+>
30
}
±
R
m
R
±
R,ato
oznacza,żezdanie
vE
x
R
,
x
2
2
0
^
x
2
-
2
x
+>
30
jestprawdziwe.
16
