Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
f)Zdanie
vE
x
R
3E
y
R
,
x
±
y
2
jestfałszywe(niespełnionedla
x<
0
,ponieważ
y2),jegozaprzeczenie(prawdziwe):
2
0
3E
x
R
vE
y
R
,
x
#
y
2
(np.
x±-),
1
zdanie
3E
x
R
vE
y
R
,
x
±
y
2
jestfałszywe
{
x
E
R
:
vE
y
R
,
x
±
y
2
}
±
0,
jegozaprzeczenie(prawdziwe):
vE
x
R
3E
y
R
,
x
#
y
2
{
x
E
R
:
3E
y
R
,
x
#
y
2
}
±
R.
g)Prawdziweioznacza,zerównaniekwadratowe
x
2
-
mx
-
2
m
2
±
0
zparame-
tremmR
E
mapierwiastekrzeczywisty
vE
m
R
,
∆±
9
m
2
2
0
;jegoza-
przeczenie(fałszywe):
3
m
E
R
vE
x
R
,
x
2
-
mx
#
2
m
2
.
Dowodzenietautologiijestprostymzadaniemsprowadzającymsięnaogół
dorozpatrzeniawszystkichmożliwościpodstawianiadoniejwartościlogicznych
zmiennychzdaniowych(jestich2
n,jeślibadanewyrażeniezawieranzmiennych
zdaniowych)iuzyskaniuwkażdymprzypadkuzdaniaprawdziwego(wartości
1).Takisposóbsprawdzanianazywamymetodązero-jedynkową(wskrócieme-
todą0-1).
Dodowoduprawarachunkuzbiorówwystarczysprawdzić,czyjejodpowied-
nikwrachunkuzdań(patrz(1.15))jesttautologią.Każdetakieprawomożnarów-
nieżinterpretowaćisprawdzaćgeometrycznie(np.natzw.diagramieVenne’a,
przyjmującjakoprzestrzeńUprostokąt,ajegopodzbioryoznaczaćkołamizawar-
tymiwtymprostokącie).
Noweprawa(formuły)możnarównieżwyprowadzaćlubupraszczać,korzysta-
jączeznanychjużwcześniejudowodnionychprawistosującregułępodstawiania.
Uwagi.Międzydziałaniaminazbiorach(tzw.mnogościowymi)aznanymi
działaniamiarytmetycznymizachodząistotneróżnice(np.
A
U
A
±
A).Jednak
dużoprawprzenosisięzalgebryliczbdoalgebryzbiorów.Naprzykad,suma
iiloczynsąprzemienneiłączne(wobecczegomożemyniepisaćnawiasówprzy
sumielubiloczynieskończonejliczbyzbiorów)orazzachodzirozdzielnośćilo-
czynuzbiorów(mnożenia)względemsumy(dodawania).Cowięcej,wprzeci-
wieństwiedoarytmetyki,dlazbiorówzachodzitakżerozdzielnośćsumyzbiorów
(dodawania)względemiloczynu(mnożenia).
P(1.4).Udowodnićprawo(rachunkuzdańlubrachunkuzbiorów):
a)
a)
(
p
3
q
)
-f
L
(
p
)
V1
q
J
.
SposóbI(metoda0-1)
(1.17)
Rozpatrujemy
2
2
±
4
przypadki,któreodpowiadająukładomwartościlogicz-
nychzdańotrzymanychprzezpodstawianiewmiejscezmiennychzdanio-
19
