Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Zatem,pododaniustronamioburówności,otrzymujemyprawdziwośćwzoru
dlanastępnika-liczbynaturalnej
n+.
1
Rozpatrywanezadaniemożnarozwiązaćrównieżbezstosowaniaindukcji.
>Dowódbezpośredni.Zauważmy,że
vE
n
N
,
n
3
-
(
n
-
1
)
3
±
3
n
2
-
3
n
+
1
.
Popodstawieniupoczątkowychkolejnychliczbnaturalnychotrzymujemyciąg
nrówności
1
3
-
0
3
±|
31
2
-|+
311
2
3
-
1
3
±|
32
2
-|+
321
3
3
-
2
3
±|
33
2
-|+
331
i
(
n
-
1
)
3
-
(
n
-
2
)
3
±|
3
(
n
-
1
)
2
-|
3
(
n
-
1
)
+
1
n
3
-
(
n
-
1
)
3
±
3
n
2
-
3
n
+
1
ipododaniustronamiwidzimy,żelewastronasprowadzasiędo
n,bowszyst-
3
kiepozostałeskładnikisięredukują,aprawadajerównanienaS-nieznaną
sumękwadratównkolejnychliczbnaturalnych:
n
3
±
31
łjj
(
2
+
2
jvjjj
2
S
+
ł
+
n
ł
2
)
-
312
(
łj
++
jvjj
1
2
nn
(
ł
+
1
)
+
ł
n
)
+
n
-
3
S
±
nn
(
|
k
2
+
3
2
n
+
1
2
N
|
)
,
astądżądanywzórnaS.■
b)Dlajakichliczbnaturalnychprawdziwajestnierówność
2
n
>
n
2
?
>Popodstawieniukolejnychliczbnaturalnychotrzymujemyzdania:
21,44,89,1616,3225,6436,
>
>
>
>
>
>
ł,stądwidać,żenierównośćjest
fałszywadla
nE
{
2,3,4
}
,prawdziwadla
n±
1
istawiamyhipotezę,żejest
prawdziwadlawszystkichliczbnaturalnychwiększychod4.Wceluspraw-
dzeniajejprawdziwościstosujemyuogólnionązasadęindukcji(1.22)począw-
szyod
k±.Dlatejwartości
0
5
2
5
±
325
>
2
±
25
,czylimamynierówność
prawdziwą.Wystarczywięcprzeprowadzićdowódprzesłankiindukcyjnej:
vE
n
N
,
n
2
5,2
n
>
n
2
3
2
n
+
1
>
(
n
+
1
)
2
.
Dowód.Tezęprzekształcamyrównoważnie:
22
|
n
>
n
2
+
2
n
+,azzałożenia
1
mamy:
2
n
>
n
2
-|
22
n
>
2
n
2
.Zauważamy,żezprawaprzechodniościrelacji
większości>tezabędzieprawdziwa,jeśliwykażemydodatkowo,żezachodzi
v2
n
5,2
n
2
>
n
2
+
2
n
+.
1
37
