Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
64
Kryterium„jakości”aproksymacjijestbłądśredniokwadratowej:
SzeregFouriera
s
T
1
t
0
t
³
+
o
T
ª
«
¬
x
(
t
)
–
k
¦
f
–f
c
k
f
k
(
t
)
l
»
¼
2
dt
(3.3)
Wceluznalezieniajejminimumnależyprzyrównaćdozerapochodnecząstkowefunkcji
swzględemwspółczynnikówrozwinięciack,–fdkdf:
w
w
c
s
0
w
w
c
s
1
w
w
c
s
–
1
w
w
c
s
2
w
w
c
–
s
2
...
0
Dladowolnegocnotrzymujemy:
w
w
c
n
§
¨
¨
¨
©
T
1
t
0
t
+
³
0
T
ª
«
¬
x
(
t
)
–
k
¦
f
–f
c
k
f
k
(
t
)
l
»
¼
2
dt
·
¸
¸
¸
¹
0
w
w¨
c
n
§
¨
©
T
1
t
0
t
+
³
0
T
ª
«
«
¬
xt
2
()2()
–
xt
k
–f
¦
f
cft
kk
()
+
§
¨
©
k
¦
–f
f
cft
kk
()
·
¸
¹
2
l
»
»
¼
dt
·
¸
¸
¹
0
Ponieważfunkcjebazowesąortogonalne(3.2),stąd:
t
0
t
+
³
0
T
§
¨
©
k
–f
¦
f
cft
kk
()
·
¸
¹
2
dt
t
0
t
+
³
0
T
§
¨
©
k
¦
–f
f
cf
2
kk
2
()
tdt
·
¸
¹
irównanie(3.5)możemyzapisaćwpostaci:
w
w
c
n
§
¨
¨
©
T
1
t
0
t
+
³
0
T
ª
«
¬
xt
2
()2()
–
xt
k
–f
¦
f
cft
kk
()
+
k
–f
¦
f
cf
kk
2
2
()
tdt
l
»
¼
·
¸
¸
¹
0
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Powykonaniuróżniczkowaniawzględemwspółczynnikacnw(3.7)otrzymujemy(zamiana
kolejnościróżniczkowaniaicałkowania):
t
0
t
+
³
0
T
ª
¬
–
2()
xtft
n
()2
+
cf
nn
2
()
tdt
l
¼
0
skąd
(3.8)
c
n
t
0
t
³
+
t
0
0
T
x
t
³
0
+
(
T
t
f
)
n
2
f
(
n
t
)
(
t
dt
)
dt
(3.9)
Uogólniającpowyższerozważanianazespolonesygnałyokresowex(t)orazzespolone
funkcjebazowefk(t),spełniającewarunekortogonalności(3.2),otrzymujesięnastępującąza-
leżnośćnawspółczynnikirozwinięciasygnałuwuogólnionyszeregFouriera:
t
0
+
T
t
0
+
T
c
n
³
xtftdt
()
n
*
()
³
ftftdt
n
()
n
*
()
t
0
t
0
(3.10)
