Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
66
SzeregFouriera
Identycznywynikotrzymujesiępodstawiając(3.11)do(3.17)iuwzględniającnastępującąza-
leżność:
t
0
+
T
t
0
+
T
t
0
+
T
³
f
n
(
t
)
f
n
*
(
n
)
dt
³
e
jn
Z
0
t
e
–
jn
Z
0
t
dt
³
dt
T
t
0
t
0
t
0
(3.18)
OczywiściewspółczynnikiszereguFourierasązespolonewprzypadkuharmonicznychfunkcji
bazowych.Wzwiązkuztymmożnajezapisaćwukładziebiegunowymzapomocąpromienia
ikąta(czylimodułuifazy):
c
k
ceM
k
j
k
Wówczasrozwinięciesygnału(3.13)wszeregfunkcjibazowychmożnazapisaćjako:
xt
()
¦
k
–f
f
ce
k
jk
(
Z+M
0
t
k
)
(3.19)
(3.20)
Sygnałx(t)jestwtedyprzedstawianyjakosumawszystkichskładowychharmonicznych
exp(jkZ0t),k=0,r1,r2,...,wziętychzokreślonąamplitudą|ck|ifaząMk.
3.3.Harmonicznerzeczywistefunkcjebazowe
Załóżmyobecnie,żeanalizowanysygnałx(t)przyjmujewyłączniewartościrzeczy-
wiste,tzn.że
x
*(t)=x(t)
(3.21)
Wykonującsprzężeniezespoloneobustronrównania(3.13)orazzmieniająckieruneksumo-
wania,otrzymujemy:
x
*
(
t
)
k
¦
f
–f
c
k
*
e
–
jk
Z
0
t
k
¦
f
–f
c
*
–
k
e
jk
Z
0
t
Zrówności(3.21)wynika,że
(3.22)
f
f
x
*
(
t
)
x
(
t
)
¦
c
*
–
k
e
jk
Z
0
t
¦
c
k
e
jk
Z
0
t
(3.23)
k
–f
k
–f
skądwnioskujemy,żeck=c–k
*orazc
k
*=c
–k.Jeślitak,tomożemyrozbićsumę(3.13)nadwa
składnikiizapisaćjąwpostaci:
xt
()
c
0
+
k
¦
f
1
ª
¬
ce
k
jk
Z
0
t
+
ce
–
k
–
jk
Z
0
t
l
¼
c
0
+
k
¦
f
1
ª
¬
ce
k
jk
Z
0
t
+
ce
k
*
–
jk
Z
0
t
l
¼
c
0
+
k
¦
f
1
2Re
ª
¬
ce
k
jk
Z
0
t
l
¼
(3.24)
ponieważsumaliczbyzespolonejijejsprzężeniajestrównapodwojonejczęścirzeczywistej
tejliczby:z+z
*=(p+jq)+(p–jq)=2p.Jeśliprzyjmiemy(3.19),to(3.24)przyjmujepostać
x
(
t
)
c
0
+
¦
f
2
Re
>
c
k
e
j
(
k
Z
0
t
+
M
k
)
@
c
0
+
2
¦
f
c
k
cos(
k
Z
0
t
+
M
k
)
k
1
k
1
(3.25)
