Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
TadeuszKaczorek
4.EXAMPLE
Findapotential
V
()
x
=
V
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
ofthefieldwhosegradientisortogonalto
thevectorfields
f
1
(
x
)
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
2
−
0
x
1
3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
,
f
2
()
x
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
−
−
x
2
x
3
x
1
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
(12)
Inthiscasen=3,m=2andtheequation(6)hastheform
∂
∂
V
x
[
f
1
(
x
),
f
2
(
x
)
]
=
⎡
⎢
⎣
∂
∂
V
x
1
,
∂
∂
x
V
2
,
∂
∂
V
x
3
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
2
−
0
x
1
3
−
−
x
2
x
3
x
1
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=
[
0
0
]
(13)
Itiseasytoverifythatthedistribution
Δ
()
x
=
span
{
f
1
()
x
,
f
2
(
x
)
}
=
span
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
2
−
0
x
1
3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
,
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
−
−
x
2
3
x
x
1
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(14)
isnonsingularinthepointsoftheset
U
=
{
x
∈
R
3
:
x
1
2
+
x
2
2
≠
0
}
.
Usingtheprocedureweobtainthefollowing:
Step1
Usingthecondition(4)wecheckwhetherthedistribution(14)isinvolutive.For
thispurposewecalculate:
[
f
1
,
f
2
]
=
∂
∂
f
x
2
f
1
−
∂
∂
f
x
1
f
2
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
−
0
0
1
−
0
0
2
1
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
2
−
0
x
1
3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
−
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
0
0
0
0
2
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
−
−
x
2
x
3
x
1
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡−
⎢
⎢
⎢
⎣
4
2
0
x
3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
Thedistribution(14)isinvolutivesince
rank
⎡
⎢
⎢
2
−
x
1
3
−
−
2
x
x
1
2
−
4
2
x
3
⎤
⎥
⎥
=
rank
⎡
⎢
⎢
2
−
x
1
3
−
−
2
x
x
2
⎤
⎥
⎥
=
2
⎢
⎣
0
x
3
0
⎥
⎦
⎢
⎣
0
x
3
⎥
⎦
for
x∈.Thecondition(4)ismetandthustheequation(13)hasasolution.
U
Step2
⎡
1
⎤
Wechoose
f
3x
()
=
⎢
⎢
0
⎥
⎥
whichsatisfiesthecondition(8).
⎢
⎣
0
⎥
⎦
