Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
1.Przeglądrachunkuwektorowego
Wektorłączącydwapunktywukładziekartezjańskimzapiszemynastępująco:
A1(x2-x1)ax+(y2-y1)a
y+(z2-z1)az1
1(r2sinθ2cosfl2-r1sinθ1cosfl1)ax+
+(r2sinθ2cosfl2-r1sinθ1cosfl1)a
y+(r2cosθ2-r1cosθ1)az.
Adb)Długośćwektorawyrażonązapomocąwspółrzędnychsferycznychmożemy
obliczyćkorzystajączrezultatuuzyskanegowpoprzednimrozwiązaniu:
|A|21(r2sinθ2cosfl2-r1sinθ1cosfl1)
2
+
+(r2sinθ2cosfl2-r1sinθ1cosfl1)
2
+(r2cosθ2-r1cosθ1)
21
1r2
2sin2θ2cos2fl2+r2
1sin2θ1cos2fl1-2r1r2sinθ1sinθ2cosfl1cosfl2+
+r2
2sin2θ2cos2fl2+r2
1sin2θ1cos2fl-2r1r2sinθ1sinθ2cosfl1cosfl2+
+r2
2cos2θ2+r2
1cos2θ1-2r1r2cosθ1cosθ2.
Porządkującskładnikiiwykorzystujączależnośćsin2ł+cos2ł11,otrzymujemy:
|A|21R2
2+R2
1-2R1R2sinθ1sinθ2[cosfl2cosfl1+sinfl2sinfl1]-
-2R1R2cosθ1cosθ2.
Należyuwzględnićtakżepodstawowetożsamościtrygonometryczne:
cosłcos;1
1
2(cos(ł-;)+cos(ł+;)),
sinłsin;1
1
2(cos(ł-;)-cos(ł+;)).
Ostatecznie:
|A|1JR2
2+R2
1-2R1R2sinθ1sinθ2cos(fl2-fl1)-2R1R2cosθ1cosθ2.
Uzyskaliśmyogólną,wygodnąformułędoobliczeniaodległościmiędzydwoma
punktami,którychwspółrzędnepodanesąwukładziewspółrzędnychsferycznych,
bezwcześniejszejkoniecznościichtransformacjidoukładuwspółrzędnychkarte-
zjańskich.
Zadanie1.7
Danesądwapunktywukładziewspółrzędnychkartezjańskich:
P1(0,0,1)iP2(2,1,3)orazwektorAłączącypunktP1(początek)zpunktemP2(ko-
niec).ZnajdźwektorjednostkowywkierunkuwektoraA,wukładziewspółrzęd-
nychsferycznychicylindrycznych.
