Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2
Wykład1
Ćwiczenia
1.Udowodnij,żeaksjomatindukcjiitwierdzenia1.1,1.2oraz1.3sąrównoważne.
2.Znajdźbłądwdowodzienastępującego„twierdzenia”:Wszystkiekotysąjedna-
kowegokoloru.
Dowód
Wystarczypokazać,żespełnionyjestnastępującywarunek:Dlakażdegon∈N
wdowolnymzbiorzezłożonymznkotówwszystkiekotysąjednakowegokoloru.
Dlan=1warunekoczywiściezachodzi.Załóżmy,żewarunekzachodzidlan.
Pokażemy,żezachodzidlan+1.
Wzbiorzezłożonymzn+1kotów,zgodniezzałożeniemindukcyjnym,nkotów
matensamkolor,naprzykładczarny:
k1
k2
...
...
kn
?
kn+1
Alezzałożeniaindukcyjnegokotyk2j...jkn+1sąteżjednakowegokoloru.Po-
nieważkotyk2j...jknsączarne,więckotkn+1jestteżczarny.
3.Wykaż,żedlakażdegon∈Nliczba42n+1+3n+2jestwielokrotnościąliczby13.
4.Niechnjk∈N∪{0}jn>k.Przez(
n
k)oznaczamyliczbę
k!(n−k)!.Sprawdź,że
n!
(
n
k)∈N(0!=1).
5.Niechnjk∈N∪{0},n>k.Sprawdź,że(
k
k)+(
k+1
k)+...+(
n
k)=(
n+1
k+1).
6.Wykaż,żedlakażdegon∈N∪{0}zachodzinastępującarówność:
(
n
o)
2
+(
n
1)
2
+...+(
n
n)
2
=(
2n
n).
7.Dlanjr∈NoznaczmyprzezSr(n)sumę1r+2r+...+nr.Sprawdź,żedla
każdychnjr:
(n+1)r+1−(n+1)=(
r+1
1)Sr(n)+(
r+1
2)Sr−1(n)+...+(
r+1
r)S1(n).
8.WyprowadźwzorynaS1(n),S2(n),S3(n),S4(n).Udowodnijichprawdziwość,
stosującmetodęindukcjimatematycznej.
9.Udowodnij,żemaksymalnaliczbajednomianów(któreniesąpodobne)wielo-
mianunzmiennychstopniadjestrówna(
n+d
n).
