Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ROZDZIAŁ1.ROADZIAŁ1.PODSTAWOWEPOJĘCIAPRZESTRZENIWEKTOROWEJ
Warunki
10÷70nazywamyaksjomatamip.w.X.
PrzestrzeńwektorowąbędziemykrótkonazywaćprzezXinazywaćrównieżprze-
strzniąliniową.
Uwaga1.1.PrzestrzeńwektorowąXnadciałemliczbzespolonychCnazywamy
przestrzeniąwektorowązespoloną.
Definicja1.2.Element0·xnazywamyelementemzerowymioznaczamysym-
bolemθ,tzn.0·x=θ.
Definicja1.3.∀x∈Xelement(wektor)(−1)xnazywamyelementemprzeciw-
nymioznaczamysymbolem−x.
Definicja1.4.∀xjy∈Xx−y=x+(−1)y.
Twierdzenie1.1.WprzestrzeniwektorowejXistniejedokładniejeden∃!ele-
mentzerowyθ.
Dowód.(niewprost).Załóżmy,że∃dwaelementyθ1·θ2θ1/=θ2.Wówczas
∀x1jx2∈Xmamy
x1+x2+θ1=x1+x2+0x1
wł2◦
=x2+(x1+0x1)
wł6◦
=x2+(1+0)x2
=x2+x1
wł1◦
=x1+x2
ianalogicznie
x1+x2+θ2=x1+x2+0x2=x1+(x2+0x2)=x1+(1+0)x2=x1+x2
awięczwłasności30wynika,żeθ1=θ2c.n.d.
Twierdzenie1.2.∀x∈Xx+θ=x
Dowód.
x+θ=x+0·x
wł7◦
=1·x+0x
wł5◦
=(1+0)x=1·x
wł7◦
=x
Twierdzenie1.3.
(O·x=0)⇔(O=0∨x=θ)
Dowód.GdyO=0,tomamy0·x=(0+0)x=0x+0x⇒0·x=θ.Gdyx=θ,
tomamyOθ=O(θ+θ)=Oθ+Oθ⇒Oθ=0.
NiechOx=θ∧O/=0,wtedyO11(Ox)=O11θ⇒(O11O)x=θ⇒1·x=θ⇒
x=θ.
10
