Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.PODPRZESTRZENIEWEKTOROWE.SUMAIILOCZYNPODPRZESTRZENI
10A(x+y)=Ax+Ay=θ+θ=θ,tzn.x+y∈W
20A(Ox)=OAx=Oθ=θ,tzn.Ox∈W
cooznacza,żezbiórwszystkichrozwiązańjednorodnegoukładurównańliniowych
jestpodprzestrzeniąprzestrzeniRn.
Sumaiprzekrójpodprzestrzeni
Definicja1.6.NiechV1iV2będąpodprzestrzeniamiprzestrzeniwektorowejX.
Wówczaszbiór
V1+V2={x+y∈X:x∈V1jy∈V2}
(1.3)
nazywamysumąpodprzestrzeniV1iV2.
Definicja1.7.Mówimy,żeprzestrzeńwektoroweXjestsumąprostąswoich
podprzestrzeniV1j...jVn,gdykażdywektorx∈Xdajesięjednoznacznieprzed-
stawićwpostaci
x=x1+x2+···+xnj
gdzie
x1∈V1i=1j2j...jn
conotujemy
X=V1⊕V2⊕...⊕Vn
(1.4)
Uwaga1.4.JeśliX=V1⊕V2,toV2(odpowidnioV1)nazywamypodprzestrzenią
dopełniającądoV1(odpowiednioV2).
Przykład1.6.
NiechX=R3,V1≡(u1jRj+|u1×u1j·|u1×u1),V2=(u2jRj+|u2×u2j·|u2×u2),
gdzieu1–zbiórwektorówleżącychnaprostejprzechodzącejprzezpoczątek
układuwspółrzędnych,u2–zbiórwektorówleżącychnapłaszczyźnieniezawiera-
jącejprosteju1iprzechodzącejprzezpoczatekukładuwspółrzędnych.Wówczas
R
3=V1⊕V2
(1.5)
Definicja1.8.Przekrojemalboczęściąwspólnąpodprzestrzeniwektorowych
V1,V2danejprzestrzeniwektorowejXnazywamyzbiórwszystkichwektorów
należącychdopodprzestrzeniV1inależącychdopodprzestrzeniV2,cooznaczamy
W=V1∩V2={x∈W;x∈V1∧x∈V2}
(1.6)
Twierdzenie1.4.JeśliV1,V2sąpodprzestrzeniamip.w.V,to:
10sumaV1+V2jestpodprzestrzeniąp.w.X,
20przekrójV1∩V2jestpodprzestrzeniąp.w.X.
Dowódpomijamy.
13
