Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.LINIOWAZALEŻNOŚĆINIEZALEŻNOŚĆUKŁADUWEKTORÓW
Twierdzenie1.5.KażdakolumnamacierzyA(p.w.(1.19))jestkombinacją
liniowąkolumnbazowych.
Dowód.RozważmydowolnyminormacierzyA=(a
j
k)n×mdanejwzorem(1.19)
stopniar+1
Mr+1=
|
|
|
∫
|
|
l
a
Mr
j
1a
j
2
r×r
...
...
...
.
.
.
a1
a2
a
k
k
j
k
1
|
|
|
|
|
J
=0
(gdyżrangA=r)
(1.22)
Dokonującrozwinięciategowyznacznikawzględemj-tegowierszaotrzymamy
a
j
1A
1
j+a
j
2A
2
jj...+aj
rAr
j+a
j
kAk
j=0
gdzieAl
joznaczadopełnieniealgebraiczneelementua
j
l.
Zzałożenia|Ak
j|=|Mr|/=0,zatemzewzoru(1.23)otrzymujemy
a
j
k=−a
j
1
Ak
A1
j
j
−a
j
2
Ak
A2
j
j
+...−aj
r
Ak
Ar
j
j
j=1j2j...jn
(1.23)
(1.24)
Wprowadzającoznaczenieλp=−
A
Ak
p
j
j
p=1j...jrmożemywzór(1.24)zapisac
wpostaci
a
j
k=λ1aj
1+λ2aj
2+...+λraj
r
j=1j2j...jn
(1.25)
cooznacza,żek-takolumnamacierzyAjestkombinacjąliniowąkolumnbazo-
wych.
Badanieliniowejniezależnościukładuwektorówwygodniejestprzeprowadzaćza
pomocąbadaniarzędumacierzy,którejkolumnamisawektorydanegoukładu.
Twierdzenie1.6.Rządmacierzynieulegniezmianiejeśli:
10dokonamyprzestawieniawierszylubkolumnmacierzy,
20dowierszadodamyinnywierszpomnożonyprzezstałą,
30dokolumnydodamyinnąkolumnęprzemnożonąprzezstałą,
40wiersz(kolumnę)pomnożymy,przezstałąróżnąodzera.
Dowódpomijamy.
Przekształceniamacierzywymienionewpunktach10÷40twierdzenia1.6,nazy-
wamyprzekształceniamielementarnymi.
17
