Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
wmatematyceniewykazano,aściślej,żepojawiającesięczasem
niesprzeczności(np.antynomiewteoriimnogości)potrafiono
wyeliminować.JestwtychnegatywnychtwierdzeniachGödlatakże
rysoptymistyczny:niemożnaograniczaćmetodstosowanych
wmatematyce,azatemniemożnaograniczaćtwórczejinwencji
matematyków.Takwięcmimopozornienegatywnegocharakteru
twierdzeniaGödlamająwydźwiękpozytywny:kierująuwagęnato,
żematematykamacharaktertwórczyipodnosząznaczenietej
twórczości.
10.Chaitin
Ciekawypunktspojrzenianaproblemaksjomatówoferujeteoria
automatów(Chaitin,Kołmogorow).Przedstawimyjąwujęciu
Chaitina[41],pomijająctechniczneszczegóły.
Niechαbędzieciągiemzerojedynkowym.Złożonościątegociągu
nazywasiędługość(mierzonąwbitach)najkrótszegoprogramu
komputerowego,którygowygeneruje.
Złożonośćliczbyπjestniewielka,znanejestbowiemjej
przedstawieniewpostaciszeregu,alezłożonośćciągu10000
wynikówrzutówmonetąjestrzędu104,wtymbowiemprzypadku
trudnooczekiwaćprostegowyrażenianaobliczeniewynikówtych
rzutów.Spostrzeżenietopozwalanaokreślenieprzypadkowości:ciąg
αodługościnnazywasięlosowym,gdyjegozłożonośćjestrzędun.
Istniejerozpowszechnionypogląd,żeaksjomatysąjakby
kondensatemopartejnanichteorii,wszystkiebowiemjejtwierdzenia
sąwnichimplicitezawarte.Nazwijmyzdaniewaksjomatycznej
teoriinieprzywiedlnym(irreducible),gdyjegozłożonośćjesttakajak
złożonośćukładuaksjomatówpotrzebnychdlajegodowodu,awięc
gdydlajegodowodupotrzebnyjestukładaksjomatówrównie
złożonyjakonosamo.Wświetleprzytoczonejwyżejdefinicjizdania
nieprzywiedlnesąlosowe,cojestambarasującezpunktuwidzenia
ekonomikiteorii.
Pierwszymprzykłademzdanianieprzywiedlnegobyłaliczba
ChaitinaΩ,związanazprawdopodobieństwem,żelosowowybrany
programmaszynyTuringazatrzymasię[42].Trochęściślej,jeśli
