Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
nierozstrzygalnenajejgruncie,tzn.takiezdania,żeanionosamo,ani
jegonegacjaniesątwierdzeniamitejteorii[37].Icowięcej,tej
niezupełnościniemożnausunąćprzezdodawaniedoteoriinowych
aksjomatów,zktórychbyonewynikały,np.ichsamych,bonadal
będąistniećzdanianierozstrzygalnenagruncietakiejnowej,
bogatszejteorii.Dzisiajtwierdzenietonosinazwępierwszego
twierdzeniaGödlaoniezupełności.
NakońcutejpracyGödelzaanonsowałtwierdzenie,zwanedziś
drugimtwierdzeniemGödlaoniezupełności.Głosiono,żedowód
niesprzecznościteoriizawierającejarytmetykęliczbnaturalnychnie
możebyćprzeprowadzonywramachtejteorii,leczwymagaśrodków
silniejszych[38].
Twierdzenia
Gödla
pokazują,
że
metoda
aksjomatyczno-
dedukcyjnaniemożedaćpełnejwiedzywzakresie,októrymmówią
aksjomaty.Wszczególności,niemożnawsystemieaksjomatyczno-
dedukcyjnymzawrzećcałejprawdyoliczbachnaturalnych,
awkonsekwencjiniemożnatakimsystememobjąćcałejmatematyki,
anicałejnaszejwiedzyoczymkolwiek,np.oprzyrodzie.Zdrugiej
jednakstronystosującbogatsześrodkidowodowe,np.metody
nieskończone,potrafimyrozstrzygaćnawetzdanianierozstrzygalne,
tzn.pokazywać,żesąoneprawdziwelubfałszywe[39].
TwierdzeniaGödlapokazujątakże,żewsystemieaksjomatyczno-
dedukcyjnymnależyodróżniaćdowodliwośćiprawdziwość.Na
przykład,warytmetyceliczbnaturalnych(ioczywiściewsystemach
bogatszych)istniejązdaniaprawdziwe,któreniesątwierdzeniamitej
arytmetyki(niedająsięudowodnić),azatemsąnierozstrzygalne.
DrugietwierdzenieGödlapowiada,żeniemożnawdanejteorii
udowodnićjejniesprzeczności,potrzebnesąbowiemśrodkisilniejsze
niżte,którymidysponujedanateoria.Znaczyto,żeniema
absolutnych
dowodów
niesprzeczności.
Ale
jednocześnie
niesprzecznośćjestbodajnajistotniejszymwarunkiemwmatematyce,
każdabowiemteoria,którazawierałabydwazdaniasprzeczne–
zawierałabywszystko[40],niebyłabywięcteoriąoddzielającąziarno
odplew.Wkonsekwencjijesteśmyzdaninawiarę,żerozwijając
matematykę(i,ogólniej,naukę)budujemyteorieniesprzeczne.Wiara
tamożesięopieraćjedynienatym,żedotychczasniesprzeczności
