Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
którajednakniezawszemawtedycharakteraksjomatyczny.
Duża
część
matematyki,
której
początek
dał
rachunek
iróżniczkowyicałkowy(historyczny
calculus),aktórarozrosłasię
dorozmiarówdużejiniezwykledynamicznejdziedzinymatematyki,
potocznie
zwanejanaliząmatematyczną,aobejmującejtakże
równaniaróżniczkoweicałkowe,teorięszeregów,rachunek
wariacyjny,analizęglobalną
itp.–odpoczątkurozwijałasię
nieaksjomatycznie[47].Wdążeniudościsłościprecyzowanopojęcia
liczby,funkcji,granicyitp.,achociażwdążeniudoogólności
prowadziło
to
także
do
różnych
współczesnych
teorii
aksjomatycznych,jakteoriamnogości,topologia,czyanaliza
funkcjonalna,tojednakjądroanalizypozostajeniezaksjomatyzowane
i,cowięcej,takistanrzeczyznajdujeswoichobrońców.Należydo
nichRichardFeynman,laureatNagrodyNoblazfizyki.
Pojawiasiętuinteresującezagadnienie.Czyistniejejakikolwiekpunktwyjścia
dlawszystkichnaszychwywodów?Czyistniejewprzyrodzietakiporządek,
którypozwalałbyutrzymywać,żejedenzbiórtwierdzeńjestbardziej
fundamentalny,adrugijegokonsekwencją?Możliwesądwapunktywidzeniana
matematykę.Dlawygodynazwęjedenznichtradycjąbabilońską,adrugi–
grecką.Wbabilońskichszkołachmatematycznychuczeńrozwiązywałogromną
ilośćzadań,pókinieprzyswoiłsobieogólnegoprawidła.Szczegółowopoznawał
geometrię,znałsporowłasnościokręgu,znałtwierdzeniePitagorasa,wzoryna
polekwadratuitrójkąta;istniałyteżjakieśsposobynawyprowadzaniejednego
zdrugiego.Byłyteżtabliceliczbowe,przypomocyktórychmożnabyło
rozwiązywaćzłożonerównania.(...)Euklidesnatomiastodkrył,żewszystkie
twierdzeniageometriimożnawyprowadzićzkilkuwybranychaksjomatów.
Podejściebabilońskie–nazwałbymjematematykąbabilońską–zawierasię
wtym,żeznamynajróżniejszetwierdzeniailicznezwiązkimiędzynimi,alenie
dokońcazdajemysobiesprawęztego,żemogąonebyćwyprowadzone
zjakiegośukładuaksjomatów.Natomiastmatematykawspółczesnakładzie
nacisknaaksjomatyidowody,wychodzączwyraźnychwyobrażeńtego,co
możnaiczegoniemożnanazwaćaksjomatem.Współczesnageometriadobiera
aksjomatypodobnedoeuklidesowych,aleniecoudoskonaloneiwyprowadza
znichcałąresztę.Takienp.twierdzenia,jaktwierdzeniePitagorasa(suma
kwadratówprzyprostokątnychjestrównakwadratowiprzeciwprostokątnej)nie
jestaksjomatem.Alemożliwajestiinnabudowageometrii,np.wgeometrii
KartezjuszatwierdzeniePitagorasastajesięaksjomatem.
Przedewszystkimmusimyzatemprzyjąć,żenawetwmatematycemożemy
wychodzićzróżnychpunktówwyjściowych.Ponieważwszystkietwierdzeniasą
powiązanelogicznie,niesposóborzec,dlaczegojakieśtwierdzeniauznajemyza
podstawoweaksjomaty,bojeśliwichmiejscezaproponująwaminne,toina
