Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Przykładyfraktali
13
Rys01030KrzywavonKochaKijejpierwszetrzyprzybliżeniak1,k2,k3liniamiłamanymi
(zmniejszonetrzykrotniewstosunkudoK)
PRZYKŁAD103(dywanSierpińskiego,1915r.)[70]0Podzielmykwadratnadzie-
więćjednakowychkwadratówiusuńmywnętrześrodkowegokwadratu.Tosa-
mozróbmyzpozostałymiośmiomakwadratami,następnietosamozpozosta-
łymisześćdziesięciomaczteremakwadratamiitd.Tocopozostanienazywamy
dywanemSierpińskiego(rys.1.4).
Jesttozbiórdomkniętyispójny(każdedwapunktynależącedozbiorumoż-
napołączyćliniącałkowicieleżącąwtymzbiorze).Jestonnigdziegęsty(tozna-
czy,żeniezawierawsobieżadnegoniepustegopodzbioruotwartego)ijegopole
jestrównezero.KażdypunktdywanuSierpińskiegojestjegopunktembrzegowym
(wkażdymotoczeniutakiegopunktuznajdująsiępunktyzarównonależące,jak
inienależącedozbioru).
I
PRZYKŁAD104(zbiórMandelbrota,1980r.)[47]0Napłaszczyźniezmiennejze-
spolonejrozpatrzymyciągzo,z1,z2,...,któregowyrazpoczątkowyjestzerem,
anastępnewyrazysąokreślonezależnościąrekurencyjnązn+1=z
2
n+c,gdziec
jestparametremzespolonym.Wzależnościodwartościtegoparametruciągal-
bodążydonieskończoności,albojestograniczony.Tewartościparametruc,dla
którychciągpozostajeograniczony,tworząnapłaszczyźniezmiennejzespolonej
tzw.zbiórMandelbrota.
Jesttozbiórspójny,domkniętyiograniczonyoniezwykleskomplikowa-
nymkształcie.Narysunku1.5ApokazanozbiórMandelbrotawprostokącie
Re(c)∈(−2,2,o,8),Im(c)∈(−1,2,1,2).Nanastępnychdwóchrysunkachwi-
daćpowiększeniawybranychfragmentówtegozbioru.Jedenztychfragmentów
powtórzononafotografii1.
I
