Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
1.Przykładyfraktali
Rys01040DywanSierpińskiego
PRZYKŁAD105(przykładzbioruJulii)0WielomianW(z)=z3−1manapła-
szczyźniezmiennejzespolonejtrzymiejscazerowe
1
2
(−1+i√3),
−
1
2
(1+i√3),
1+io
PoszukiwaniemiejsczerowychwielomianumetodąNewtonasprowadzasiędo
utworzeniaciąguzo,z1,z2,...określonegozależnościąrekurencyjną
zn+1=zn−
W/(zn)
W(zn)
=
2zn
3
+
3z2
1
n
(1.1)
TakisposóbznajdowaniamiejsczerowychfunkcjiW(z)jestsugerowany
przeznastępującerozumowanie.JeślifunkcjaW(z)maciągłąiróżnąodzerapo-
chodnąW/(z),todladwóchbliskichpunktówziz∗zachodziprzybliżonarów-
nośćW(z)−W(z∗)≈W/(z)(z−z∗).Wobectego,jeśliz∗jestmiejscemzerowym,
toW(z∗)=oiz∗≈z−W(z)/W/(z).
Jeżelipoczątkowywyrazzoznajdziesięwmałymotoczeniujednegozpier-
wiastkówwielomianu,tociągkolejnychprzybliżeńNewtonabędzieszybko
zbieżnydotegopierwiastka.Zbiórtychwszystkichpunktówzo,dlaktórychciąg
przybliżeńNewtonajestzbieżnydopierwiastkaz∗(jednegoztrzechpowyż-
szych),nazywamyzbioremprzyciąganiategopierwiastka.Nafotografii2pokazano
