Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
20Zagadnieniageometrycznegeodezjiwyższej
normalnagłównawkażdympunkciemakieruneknormalnejdopowierzchni.To
samomożnawyrazićprzezwarunekzerowejwartościkrzywiznygeodezyjnej
κ
g,
którązapisujemyjakoiloczynmieszanywektorów:r!,rHin
κ
g=(r!×rH)⋅n=0
(2.28a)
gdzier!oznaczawektorstycznydopowierzchni,rHoznaczawektorkrzywizny(!iH
tosymbolepierwszychidrugichpochodnychwzględemparametrunaturalnego),
ntowprowadzonyjużwyżejwektornormalnydopowierzchni(2.26).Przypomnij-
my,żekrzywiznągeodezyjnąnazywasiękrzywiznęrzutuprostokątnegokrzywejna
płaszczyznęstycznądopowierzchni.
Warunek(2.28a)stanowiogólnyzapiswłaściwościliniigeodezyjnejnadowolnej
powierzchniiprzedstawiasobąrównanieróżniczkowedrugiegorzędu.Mającnamy-
ślielipsoidęobrotową,wprowadzimydotegorównaniawspółrzędnegeodezyjneB
iL(L=L(B)dlapowierzchniobrotowej).Wyniktakiegopodstawieniamapostać:
dB
dL
2
2
+
(
I
k
2
p
dB
dp
−
M
1
dM
dB
]
I
J
dL
dB
+
M
p
2
dB
dp
(
I
k
dL
dB
]
I=.
J
3
0
(2.28b)
Całkowanietegorównaniaprowadzidoważnejwłaściwościliniigeodezyjnej.
Abydokonaćcałkowania,trzebanajpierwwprowadzićpodstawowezależności
różniczkowedlaliniigeodezyjnejnapowierzchnielipsoidyobrotowej.Rozpatrz-
myzależnościwynikającezrysunku2.9.Elementłukupołudnikaodpowiadający
elementowidsłukuliniigeodezyjnejwyrazimyprzezMdB.Odpowiednielement
łukurównoleżnikatopdL=NcosBdL.Zprostokątnegotrójkątaelementarnego
wynikająnatychmiastdwarównaniaróżniczkowepierwszegorzędu:
dB
ds
=
cos
M
A
,
dL
ds
=
N
sin
cos
A
B
.
(2.29a)
Rys.2.9.Elementarnytrójkątnapowierzchnielipsoidy
