Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
Rozdział2.Klasycznakryptografia
(Pamiętajmy,żewszystkiedziałaniaarytmetycznesąwykonywanemodulo26).
Rozpatrzmyterazprzykład,abyzilustrowaćszyfrowanieiodszyfrowaniewszyfrzeHilla.
Przykład2.5.Załóżmy,żekluczemjest
K1
§
¨
©
118
37
·
¸
¹
.
Zpowyższegoobliczeniamamy
K
-1§
1
¨
©
2311
718
·
¸
¹
.
Załóżmy,żechcemyzaszyfrowaćjawnytestjuly.Mamydwaelementytekstujawnego
dozaszyfrowania:(9,20)(odpowiadającyju)oraz(11,24)(odpowiadającyly).Liczymy
wnastępującysposób:
(,
920
)
§
¨
©
118
37
·
¸1
¹
(
996072140
+
,
+
)
1
(,)
34
oraz
(,
1124
)
§
¨
©
118
37
·
¸1
¹
(
1217288168
+
,
+
)
1
(,
1122
).
ZatemszyfrogramemjulyjestDELW.Abytoodszyfrować,Bobobliczyłby:
(,)
34
§
¨
©
2311
718
·
¸1
¹
(,
920
)
i
Stądotrzymujesiętekstjawny.
(,
1122
)
§
¨
©
2311
718
·
¸1
¹
(,
1124
).
'
Wtymmomenciepokazaliśmy,żeodszyfrowaniejestmożliwe,jeśliKmaodwrotność.
Wrzeczywistości,abyodszyfrowaniebyłomożliwe,Kmusimiećodwrotność.(Wynika
towłatwysposóbzelementarnejalgebryliniowej,aleniepodamytużadnegodowodu).
InteresująnaswięcdokładnietemacierzeK,któresąodwracalne.
Odwracalnośćmacierzy(kwadratowej)zależyodwartościjejwyznacznika,którąteraz
zdefiniujemy.
DEFINICJA2050Załóżmy,żeA=(a
i,j)jestmacierząm×m.Dla1≤i≤m,1≤j≤m
zdefiniujmyA
ijjakomacierzotrzymanązAprzezusunięciewierszaiorazkolumny
j.WyznacznikiemA,oznaczonymjakodetA,jestwartośća
1,1,jeślim=1.Jeślim>1,
todetAjestobliczanyrekurencyjniezewzoru
det
A
1
¦1
j
m
1
1
()
-
ij
+
a
ij
,
det
A
ij
,
gdzieijestdowolnąstałąliczbącałkowitąmiędzy1am.
