Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
K.Maurin,Matematykaafizyka,Warszawa2010
ISBN978-83-01-16256-6,©byWNPWN2010
2.2.Jednośćmatematykiifizyki
11
JakpisaliśmywartykuleAnalizafunkcjonalna1,głównymimpulsemanalizy(awięc
ianalizyfunkcjonalnej!)byłytzw.równaniaróżniczkowefizyki.
Wymienimyniektóreznich
202010Równaniaróżniczkowemechanikipunktówmaterialnych,awięcrównaniaróż-
niczkowezwyczajne
d2x
dt2
=F(t7x7
dx
dt)(zasadaNewtona)
(N)
[niewiadomafunkcjat→x(t)].
Ciekawe,że„równaniaNewtona”byłyporazpierwszywtejogólnościzapisane
dopieroprzezL.Eulera.
OlbrzymikroknaprzódstanowiłypracenajwiększegomatematykaifizykaIrlan-
diiW.R.Hamiltona,dotycząceoptykigeometrycznej„Teoriaukładówpromieni”,które
przeniósłonnadynamikę,tworząctzw.mechanikęhamiltonowską.RównanieNewtona,
czyogólniej—równaniedynamikipunktówwpostaciLagrange’azostajeprzetransfor-
mowanenasłynnerównaniaHamiltona
dqi
dt
=
∂H
∂pi
7
dpi
dt
=
∂H
∂qi
7
i=1727...7n
(H)
[niewiadomefunkcje:pi(t),qi(t),i=1727...7n],gdzieH(p,q)jestenergiącał-
kowitąukładu.Hamilton,będącmatematykiem,filozofemipoetą,nieinteresowałsię
stronąeksperymentalnąoptyki,niemniejjednakprzewidział,żewośrodkachanizotro-
powych,np.wkryształachdwuosiowych,pojawićsiępowinno„załamaniestożkowe”
(„conicalrefraction”),którepotwierdzononiecopóźniejdoświadczalnie.Omechanice
hamiltonowskiejijejroliwrozwojufizyki(np.mechanikikwantowej)będziemowa
poniżej.Tuchciałbympodkreślić,żespowodowałaonatakżeniezwykłyrozwójgeome-
triiprzekształceńkanonicznych(stycznościowych)igeometriisymplektycznej,będącej
obokgeometriiRiemannanajważniejszym,żyworozwijającymsiędziałemwspółczes-
nejgeometrii.
202020Równaniaróżniczkowecząstkowefizykiklasycznej,awięcrównaniePoissonadla
operatoraLaplace’a
∆u=f
(∆=
Σ
i=1(
n
∂xi)
∂
2)
(P)
[niewiadomafunkcjau(x17x27...7xn)].
Równaniefalowe(ang.waveequation)
(
∂t2
∂2
1∆)u=0
(W)
1Por.art.AnalizafunkcjonalnawksiążceLeksykonmatematyczny(WiedzaPowszechna,Warszawa
1993).
