Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
K.Maurin,Matematykaafizyka,Warszawa2010
ISBN978-83-01-16256-6,©byWNPWN2010
12
2.Wspólnepoczątkimatematykiifizyki
[niewiadomafunkcjau(t7x17x27...7xn)]orazpowstałezniegoprzezseparacjęzmien-
nejprzestrzennejxodzmiennejczasowejtrównanienawartościifunkcjewłasne
∆v=Av7
A∈R
[niewiadomafunkcjav(x17x27...7xn)].
Równanieprzewodnictwacieplnegoidyfuzji
(
∂t
∂
1A∆)u=0
[niewiadomafunkcja:u(t7x17x27...7xn)].
Wszystkieterównaniaotrzymujesięzprostychogólnychzasadfizyki.Wpodobny
sposóbwyprowadzasięrównaniahydrodynamiki(wodróżnieniuodrównańfizykikla-
sycznejsątorównanianieliniowe):
—równaniaEulera
∂v
∂t
+(
Σ
i=1
3
vi
∂xi)v=1gradp7divv=0
∂
(E)
[szukanafunkcjawektorowa:v(t7x17x27x3),v=(v17v27v3)],
—równaniaNaviera–Stokesa
∂v
∂t
+(
Σ
i=1
3
vi
∂xi)v=F1gradp+u∆7divv=0
∂
(N–S)
[szukanafunkcjawektorowa:v(t7x17x27x3),v=(v17v27v3)].
RównaniatemożnaotrzymaćrównieżjakorównaniaEulera–Lagrange’aodpowied-
niegoproblemuwariacyjnego1.
Nieliniowesąrównieżsłynnerównaniateoriigrawitacji:
równaniaEinsteina–Hilberta(1915)
L(gij)=8πGTij7
L(gij):=Rij1(R/2)gij
(E–H)
[szukanafunkcja:gi7j(x17x27x37x4),i7j=1727374]gdzieRijsąwspółrzędnymiten-
soraRicciego,Tij—współrzędnymitensoraenergii–pędu,Rjestkrzywiznąskalarną,
gijsąwspółrzędnymitensorametrycznego,Gjeststałągrawitacyjną.
Takżezfizykiirachunkuwariacyjnegopochodząrównaniapowierzchniminimal-
nych,otrzymywanejakowarunkistacjonarnościfunkcjonałudającegopolepowierzchni
dwuwymiarowej(wR3).Powierzchnietakierealizująsięjakobłonymydlanerozpięte
nazadanymkonturze.Warunkiemkoniecznymnaminimalnośćpolapowierzchnijest
znikanieśredniejkrzywizny:H=0.Operatorteoriipowierzchniminimalnychmapo-
stać
L(I):=
Σ
i=1
2
∂xi[(1+Σ
∂
i(
∂xi)
∂I
2)11/2∂I
∂xi]
(P.M.)
[szukanafunkcjaI(x17x2)].
1Por.art.RachunekwariacyjnyiAnalizaglobalnawksiążceLeksykonmatematyczny(WiedzaPo-
wszechna,Warszawa1993).
