Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
11.2.RÓWNANIARÓŻNICZKOWELINIOWEPIERWSZEGORZĘDU
15
6.WyznaczI(t)zprzykładu1dlaprzypadkukwadratowegoprzebiegunapięcia
E(t)=
[
ł
l
0,
E0,
0,
t<0,
0≤t≤1,
t>1.
PrzyjmijI0=0izałóż,żenatężenieprądujestciągłąfunkcjączasu.
7.WyznaczI(t)zprzykładu1dlaE(t)=0,
E0sinωt,
t<0,
t>0.
PrzyjmijI0=0.
8.Rozważdwuetapowyproceskinetyczny
A
–→B,
k1
B
–→C
k2
Możeonopisywaćrozpadpromieniotwórczyalboreakcjęchemiczną.Równaniaróżniczko-
weopisującetenprocesto
dA
dt
=–k1A,
dB
dt
=k1A–k2B,
dC
dt
=k2B,
gdziek1ik2totakzwanestałeszybkości.ObliczA,korzystajączpierwszegorównania,
aotrzymanywynikpodstawdodrugiegorównania.Rozwiążotrzymaneliniowerównanie
różniczkowepierwszegorzędunaB.Wykreślwynikidlakilkuwartościilorazuk1przezk2.
Załóż,żeA(0)=A0iB(0)=B0=0.
9.Wtymzadaniuprzedstawiamyinnąmetodęrozwiązaniarównania(2.1).Jeżeliq(x)=0,to
mówimy,żerównanie(2.1)jestjednorodne.Gdytakjest,możemyrozwiązaćtorównanie
rozdzielajączmienne—otrzymamyy(x)=Ae–∫pdx.Załóż,żerozwiązanie(niejednorod-
nego)równania(2.1)mawłaśnietakąpostać,alezA=u(x)(awięcniekonieczniestałym)
iwyznaczpostaćfunkcjiu(x)(itymsamymrozwiązanierównania(2.1)).
10.Sprawdź,żepodstawiającu=y1–ndorównania(2.5),otrzymasz(2.6).
11.Sprawdź,żewynikotrzymanywprzykładzie3rzeczywiściejestrozwiązaniembadanego
równania.
12.Znajdźrozwiązanieogólnerównań:
(a)x
dy
dx
+y=3x3y2.
(b)y
dx
dy
+2x=2x3y2.
13.Rozwiążrównaniedy/dx–y+xe–2xy3=0zwarunkiemy(0)=1.
14.Otodwarównaniaróżniczkowepierwszegorzędu.Znajdźichrozwiązaniaogólne.
(a)
dy
dx
=
x3+y3
3xy2
.
(b)
dy
dx
=
3x+3y–4
x+y
.
15.Otodwarównaniaróżniczkowepierwszegorzędu.Znajdźichrozwiązaniaogólne.
(a)
du
dt
=4t–2tu.
(b)
dy
dx
+
y
3
=
(1–2x)y4
3
.
