Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
11.3.JEDNORODNERÓWNANIARÓŻNICZKOWELINIOWE
17
gdzieLjestoperatoremróżniczkowymliniowym
L=an(x)
dxn
dn
+an–1(x)
dxn–1
dn–1
+···+a1(x)
dx
d
+a0(x).
(3.3)
Ważnąwłasnościąjednorodnegorównaniaróżniczkowegoliniowegojestto,żejeżeli
y(x)jestjegorozwiązaniem,tojestnimrównieżcy(x)dladowolnejstałejc.Cowięcej,
jeżeliy1(x)iy2(x)sąrozwiązaniamiLy=0,tojestnimrównieżc1y1(x)+c2y2(x),
azatem
L[c1y1(x)+c2y2(x)]=c1Ly1(x)+c2Ly2(x)=0,
(3.4)
gdyżLy1(x)=0iLy2(x)=0.Rozumującwtensamsposób,możemywykazać,że
jeżeliy1(x),y2(x),...,yn(x)(dladowolnejliczbynaturalnejn)sąrozwiązaniamirów-
naniajednorodnego,tojestnimrównieżkażdakombinacjaliniowac1y1(x)+c2y2(x)
+···+cnyn(x).
Wpodrozdziale9.5wprowadziliśmypojęcieprzestrzenilinowej.Przypomnijmy,że
przestrzeńliniowatozbiórobiektówspełniającychpewnewarunki(podanepodkoniec
podrozdziału9.5).Okazujesię,żezbiórrozwiązańjednorodnegorównaniaróżniczko-
wegoliniowegon-tegorzędujestprzestrzeniąliniową,zwanąprzestrzeniąrozwiązań.
Stwierdzenietojestbezpośredniąkonsekwencjąrównania(3.4),gdyżjeżeliy1(x)iy2(x)
sądowolnymirozwiązaniamirównaniaLy=0,tojestnimteżichkombinacjalinio-
wac1y1(x)+c2y2(x).Okazujesięteż,żewymiarprzestrzenirozwiązańjednorodnego
równaniaróżniczkowegoliniowegon-tegorzędujestrównyn—istniejewięcnliniowo
niezależnychrozwiązańrównaniaLy=0,rozwiązanieogólnezaśmapostać
y(x)=
Σ
i=1
n
ciyi(x),
(3.5)
gdzieyi(x)sąliniowoniezależnymirozwiązaniami.
Przypomnijmy(podrozdział9.5),żezbiórfunkcjifj(x),j=1,2,...,n,jestlinio-
woniezależnywprzedziale(α,β),gdyzrówności
Σ
j=1
n
cjfj=0,
α≤x≤β,
(3.6)
wynika,żewszystkiecj=0.Podamywygodnekryteriumbadanialiniowejniezależ-
nościzapomocąwrońskianów.Równanie(3.6)orazjegokolejnychn–1pochodnych
dająukładrównań,którymożemyzapisaćwpostacimacierzowejjako
{
l
l
l
f1
f,
.
.
1
\
f
1
(n–1)
f
2
(n–1)
f2
f,
.
.
2
···
···
···
f(n–1)
n
fn
f,
.
.
.
n
x
l
l
l
)
{
l
l
l
\
c1
c2
cn
.
.
.
x
l
l
l
)
=0.
...
(3.7)
.
.
Jeżelifunkcjefj(x)sąliniowoniezależne,tojedynymrozwiązaniemukładu(3.7)jest
c=(c1,c2,...,cn)T=0.Takbędziejednaktylkowtedy,gdywyznacznik
