Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
11.RÓWNANIARÓŻNICZKOWEZWYCZAJNE
Rys.11.10.Obwódelektrycznyzłożonyzopornika
Rys.11.11.WykresI(t)danegoprzez(4.15)jako
ooporzeR,cewkioindukcyjnościLikondensatora
funkcjizmiennejRt/2Ldla4L/R2C=1/2ikil-
opojemnościC
kuróżnychwartościc1ic2.Ruchukładuwtym
przypadkunazywamyruchempełzającym
rozważymyobwódRLC(rys.11.10).Możemyopisaćtenobwódjakoukładzłożony
zelementówzmniejszającychnatężenieprądu(opornikooporzeR),zmieniającychto
natężenie(cewkaoindukcyjnościL)orazzmieniającychnapięcie(kondensatoropojem-
nościC).SpadeknapięcianakażdymzelementówjestrównyodpowiednioVR=IR,
VL=LdI/dtorazVC=∫I(t)dt/C,gdzieI(t)jestnatężeniemprądu.Zgodniezpra-
wemKirchhoffa,napięcieprzyłożonedoobwodujestrównesumiespadkównapięćna
wszystkichelementach,możemywięcnapisać
L
dI
dt
+RI+
C∫
1
t
I(t,)dt,=V.
Różniczkująctorównaniepoczasie,otrzymamy
L
d2I
dt2
+R
dI
dt
+
C
1
I=
dV
dt
.
(4.12)
Zanimznajdziemyrozwiązanieszczególnerównania(4.12),zbadajmywłasnościroz-
wiązaniadopełniającego,tojestrozwiązaniaogólnegorównaniajednorodnego
L
d2I
dt2
+R
dI
dt
+
C
1
I=0.
(4.13)
Równaniecharakterystycznedla(4.13)toLα2+Rα+
C
1
=0,ajegorozwiązaniamisą
–R±(R2–4L/C)1/2
α=
.
(4.14)
2L
JeżeliR2>4L/C,toobiewartościαsąliczbamirzeczywistymiirozwiązanierównania
(4.13)mapostać
I(t)=c1e
–(a+b)t+c
2e
–(a–b)t,
(4.15)
gdziea=R/2Lib=(R2–4L/C)1/2/2L=R(1–4L/R2C)1/2/2L.Narysunku
11.11ukazanowykresI(t)jakofunkcjiRt/2Ldla4L/R2C=1/2ikilkuróżnych
wartościc1ic2.Wykresyprzecinająośpoziomąwconajwyżejjednympunkcie—
mamywówczasdoczynieniazprzypadkiemaperiodycznym.Narysunku11.12ukazano
