Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
11.4.NIEJEDNORODNERÓWNANIARÓŻNICZKOWELINIOWE
33
Rys.11.12.WykresI(t)danegoprzez(4.15)jako
Rys.11.13.WykresI(t)danegoprzez(4.16)jako
funkcjizmiennejRt/2Ldla4L/R2C=1ikil-
funkcjizmiennejRt/2LdlaLω0/R=2dlakilku
kuróżnychwartościc1ic2.Mamytudoczynienia
różnychwartościc1ic2.Wtymprzypadkumamy
zprzypadkiemgranicznym
drganiatłumione
wykresI(t)dlaprzypadkugranicznego,gdyR2=4L/C.Wykresyteprzypominają
wykresydlaprzypadkuaperiodycznego.
GdyR2<4L/C,dwiewartościαz(4.14)sąsprzężonymiliczbamizespolonymi,
możemyjezapisaćjako–a±iω0,gdzieω2
0=(4L/C–R2)/2L.Rozwiązanierówna-
nia(4.13)jestwtymprzypadkudanewzorem
I(t)=e–Rt/2L(c
1cosω0t+c2sinω0t).
(4.16)
Przypadektennazywasiędrganiamitłumionymi(rys.11.13).Widzimywięc,że
wukładachRLCmożemynapotkaćzarównodrganiatłumione,przypadekgraniczny,
jakiprzypadekaperiodyczny,podobniejaktowidzieliśmydlaoscylatorówmechanicz-
nych
wpodrozdziale11.3.
Wróćmyterazdorównanianiejednorodnego(4.12).Załóżmy,żeV(t)=E0cosωt,
awięcżerównanie(4.12)mapostać
L
d2I
dt2
+R
dI
dt
+
C
1
I=–E0ωsinωt.
(4.17)
NapoczątekrozważymyprzypadekzR=0,awpływoporuuwzględnimypóźniej.
Równanie(4.17)zR=0to
d2I
dt2
+ω2
0I=–
E0ω
L
ωsinωt,
(4.18)
gdzieω2
0=1/LC.Równanie(4.18)odpowiadawymuszonemuoscylatorowiharmo-
nicznemubeztłumienia.
Zacznijmyodprzypadku,gdyω/=ω0.Ztablicy11.1odczytujemywówczas,żena-
leżyszukaćrozwiązaniaszczególnegopostaciIs(t)=αcosωt+βsinωt;łatwostwier-
dzamy,żeα=0iβ=–E0ω/L(ω2
0–ω2),azatem
Is(t)=–
L(ω2
E0ω
0–ω2)
sinωt,
ω0/=ω.
