Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Zbioryizbioryliczbowe
3
wymiernamożebyćzatemreprezentowanaprzezróżneułamki.Suma,różnica,
iloczyniilorazliczb(oileniedzielimyprzez0)wymiernychjestliczbąwymierną,
naprzykład
3
5+7
2=41
10,
1
4−5
6=-7
12,
2
3·13
7=26
21,
-3
2:1
5=-15
2.
Niekażdaliczbajestliczbąwymierną.Liczba,którareprezentujeobwódokrę-
guopromieniurównym1,niejestliczbąwymierną,coniejestłatwedopokazania.
Liczbę,którejniedasięprzedstawićwpostaciułamka,nazywamyliczbąniewy-
mierną.Tadefinicjajest„bardzoniematematyczna”,jednak–niemającgłębszej
wiedzymatematycznejnależyjązaakceptować.Podobnie,liczbąniewymiernąjest
liczba√2reprezentującadługośćprzekątnejkwadratuobokurównym1.Liczby
wymierneiniewymiernenazywamyliczbamirzeczywistymi.Zbiórliczbrzeczywi-
stychoznaczamysymbolemR.
Ćwiczenie1.1.Pokazać,żeliczba√2jestliczbąniewymierną.
Rozwiązanie.Przypuśćmy,że√2jestliczbąwymierną,toznaczy√2=p
q,
gdzie
p
qjestułamkiemnieskracalnym,p,q∈Z,q/=0(nieskracalnośćoznacza,że
liczbypiqniemająwspólnychdzielnikównaturalnychwiększychniż1).Pod-
noszącrówność√2=p
qobustronniedokwadratu,otrzymujemy2=
p2
q2,czyli
2q2=p2.Liczba2dzielizatemliczbęp2.Stąd2dzieliliczbęp,gdyż2jestliczbą
pierwszą.Liczba4dzieliwięcp2.Innymisłowy,p2=4kdlapewnejliczbynatu-
ralnejk.Stąd2q2=4k,czyliq2=2k.Analogicznie,2dzieliq2,czylidzieliteż
q.Otrzymaliśmy,żeliczbypiqsąpodzielneprzez2,coprzeczytemu,żetworzą
ułameknieskracalny.Pokazaliśmyzatem,że√2niejestliczbąwymierną.
Π
Omówiliśmyczteryzbioryliczbowe:
N,
Z,
Q,
R.
Każdyztychzbiorówmanieskończonąilośćelementóworazkażdynastępny
składasięzelementówzbiorupoprzedniegopowiększonegoododatkoweelementy.
Używającsymboluzawieraniazbiorów(patrzpodrozdz.1.4),zapisujemy
N⊂Z⊂Q⊂R.
Wprowadzimyjeszczekilkaoznaczeń.NiechN1oznaczazbiórliczbnaturalnych
nieparzystych,N2zbiórliczbnaturalnychparzystych,Pzaśzbiórliczbpierwszych
(przypominamy,żeliczbapierwszatotakaliczbanaturalna,któramadokładnie
dwaróżnedzielnikinaturalne).
