Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Rachunekzdań
9
(p∧p)⇔p
¬(¬p)⇔p
prawoidempotentnościkoniunkcji
prawopodwójnegozaprzeczenia
Prawadotycząceprzemienności,łącznościirozdzielności:
(p∨q)⇔(q∨p)
(p∧q)⇔(q∧p)
((p∨q)∨r)⇔(p∨(q∨r))
((p∧q)∧r)⇔(p∧(q∧r))
(p∧(q∨r))⇔((p∧q)∨(p∧r))
(p∨(q∧r))⇔((p∨q)∧(p∨r))
PrawadeMorgana:
¬(p∧q)⇔(¬p∨¬q)
¬(p∨q)⇔(¬p∧¬q)
Prawadotycząceimplikacji:
((p⇒q)∧(q⇒r))⇒(p⇒r)
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
(p⇒q)⇔(¬p∨q)
¬(p⇒q)⇔(p∧¬q)
(p⇒q)⇔(¬q⇒¬p)
prawoprzemiennościalternatywy
prawoprzemiennościkoniunkcji
prawołącznościalternatywy
prawołącznościkoniunkcji
praworozdzielnościkoniunkcjiwzglę-
demalternatywy
praworozdzielnościalternatywywzglę-
demkoniunkcji
prawozaprzeczeniakoniunkcji
prawozaprzeczeniaalternatywy
prawoprzechodniościimplikacji
prawozastąpieniarównoważnościim-
plikacją
prawoeliminacjiimplikacji
prawozaprzeczeniaimplikacji
prawokontrapozycji
Przykład1.1.Udowodnimyniektórezpowyższychprawlogicznych.Najczęstszym
sposobemudowadnianiaprawlogicznychjestmetodazero-jedynkowa,którapolegana
sprawdzeniuwszystkichukładówwartościlogicznychzmiennychzdaniowych(zebranych
wtabeli)tworzącychtęformułę(patrzpunkty2)i4)).Innemetodydowodzeniazaprezen-
tujemynaprzykładachprawaprzechodniościimplikacjiiprawazaprzeczeniaimplikacji
(patrzpunkty1)i3)).
1)Prawoprzechodniościimplikacji.Przypuśćmy,żeformułataniejestprawemlogicz-
nym.Wówczasistniejązdaniap,qirtakie,żecałezdaniejestfałszywe.Implikacjajest
fałszywa,jeślipoprzednikjestprawdziwy,anastępnikfałszywy.Prawdziwajestzatem
koniunkcja(p⇒q)∧(q⇒r),afałszywajestimplikacjap⇒r.Ponieważkoniunkcja
jestprawdziwa,więcobazdaniajątworzącesąprawdziwe.Obieimplikacje,p⇒q
orazq⇒r,sązatemprawdziwe.Zfałszywościnastępnika,czyliimplikacjip⇒r,wy-
nika,żepjestzdaniemprawdziwym,arfałszywym.Dalejzprawdziwościimplikacji
p⇒qmamy,żeqjestzdaniemprawdziwym,gdyżzdaniepjestprawdziwe,natomiast
