Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
1.Logikaizbiory
Jeśliformułalogicznajestprawdziwabezwzględunawartościlogicznetwo-
rzącychjązdań,tomówimy,żejestonatautologią.
Ćwiczenie1.4.Pokazać,żenastępująceformułysątautologiami:
1)p∨¬p.
2)¬(¬p)⇔p.
3)q⇒(p⇒q).
Rozwiązanie
1)Jeśliw(p)=0,tow(¬p)=1,natomiastjeśliw(p)=1,tow(¬p)=0.Ponie-
ważalternatywazdaniaprawdziwegoifałszywegojestzdaniemprawdziwym,
więcdlakażdejwartościlogicznejzdaniapzdaniep∨¬pjestprawdziwe.Stąd
formułajesttautologią.
2)Jeśliw(p)=0,tow(¬p)=1,skądw(¬(¬p))=0.Formuławtymprzy-
padkujestzatemzdaniemprawdziwym,gdyżpoobustronachrównoważności
występujązdaniaotakiejsamejwartościlogicznej.
Jeśliw(p)=1,tow(¬p)=0,skądw(¬(¬p))=1iponowniepoobustronach
równoważnościwystępujązdaniaotakiejsamejwartościlogicznej.
3)Wtymprzypadkumamyczterymożliwości:zdaniepmożebyćprawdziwelub
fałszyweirównieżzdanieqmożebyćprawdziwelubfałszywe.Dlategoteż
przeprowadzimyrozważaniaiwszystkiemożliweukładywartościlogicznych
zdańpiqzapiszemywtabeli.
p
q
p⇒q
q⇒(p⇒q)
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
Ponieważwostatniejkolumniewszystkiewartościto1,więcnaszaformuła
jestzawszeprawdziwa,bezwzględunawartościlogicznezdańjątworzących.
Azatemjestonatautologią.
Π
Tautologienazywamyrównieżprawamilogicznymi.Podamyterazniektóre
prawalogiczneczęstowykorzystywanewmatematyce.Podzielimyjenakilkagrup.
Prawa,wktórychwystępujejednazmiennazdaniowa:
p⇒p
¬(p∧¬p)
p∨¬p
(p∨p)⇔p
prawotożsamości
prawosprzeczności
prawowyłączonegośrodka
prawoidempotentnościalternatywy
