Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
1.Logikaizbiory
ograniczeniemdolnymjestliczba3.ZbiórAniejestograniczonyzgóry,gdyż
dladowolniewybranegoprzedziału(−∞,M]znajdziemyliczbęnaturalnąpo-
dzielnąprzez3iwiększąniżM.
3)ZbiórAjestograniczonyzgóryprzezliczbę2,gdyżA=(−∞,2]⊂(−∞,2].
Niejestonograniczonyzdołu.
4)Jeślipjestliczbąnaturalną,top>1,czyli0<1
p<1.Jeślipjestliczbą
całkowitąujemną,top<−1,czyli0>1
p>−1.ZbiórAjestzatemzawarty
wprzedziale[−1,1].Stąddanyzbiórjestograniczonyzgóryprzez1,zdołu
przez−1,awięcjestograniczony.
Π
JeślizbiórA/=∅jestograniczonyzgóry,tonajmniejszezograniczeńgór-
nychtegozbiorunazywamykresemgórnymioznaczamysupA.Jeślizbiórjest
nieograniczonyzgóry,toprzyjmujemysupA=∞.Analogicznie,jeślizbiórA
jestograniczonyzdołu,tonajwiększeograniczeniedolnetegozbiorunazywa-
mykresemdolnymioznaczamyinfA.Jeślizbiórniejestograniczonyzdołu,to
przyjmujemyinfA=−∞.
Ćwiczenie1.20.Wyznaczyć:
1)kresgórnykażdegozezbiorów[1,2],[0,5);
2)kresdolnykażdegozezbiorów(0,∞),[−3,3].
Rozwiązanie
1)Zbiór[1,2]jestograniczonyzgóryprzezliczbę2,gdyż[1,2]⊂(−∞,2].Licz-
ba2jestnajmniejszymzograniczeńgórnych,gdyżjeśli[1,2]⊂(−∞,M],to
2∈(−∞,M],czyli2<M,azatemsupA=2.
Zbiór[0,5)jestograniczonyzgóryprzezliczbę5.Pokażemy,żesup[0,5)=5.
Przypuśćmy,żeistniejemniejszeograniczeniegórnetegozbioruniż5.Oznacz-
myjeprzezM.Wtedy[0,5)⊂(−∞,M].Ponieważ0∈[0,5),więcM>0.
Liczba5+M
2
należydozbioru[0,5),gdyż5+M
2
<5+5
2
=5oraz5+M
2
>5
2>0,
nienależyzaśdoprzedziału(−∞,M],gdyż5+M
2
>M+M
2
=M.Otrzymana
sprzecznośćpokazuje,żesup[0,5)=5.
2)Zbiór(0,∞)jestograniczonyzdołuprzezliczbę0.Pokażemy,żeinf(0,∞)=0.
Gdybyistniałowiększeograniczeniedolnem(m>0),to[m,∞)⊂(0,∞).
Liczbam
2należyjednakdozbioru(0,∞),alenienależydozbioru[m,∞),
azateminf(0,∞)=0.
Kresemdolnymzbioru[−3,3]jestliczba−3.Istotnie,−3jestograniczeniem
dolnymtegozbioru.Ponadto,jeślimjestdowolnymograniczeniemdolnym
przedziału[−3,3],tozzawierania[−3,3]⊂[m,∞)mamy,że−3>m.Osta-
tecznie,inf[−3,3]=−3.
Π
