Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Rachunekzbiorów
25
Korzystajączpowyższejtautologii,podstawiajączapzdaniex∈A,zaqzaś
zdaniex∈B,mamy
x∈(A\B)∪(A∩B)⇔(x∈A\B∨x∈A∩B)⇔
⇔((x∈A∧x/∈B)∨(x∈A∧x∈B))⇔
⇔((x∈A∧¬(x∈B))∨(x∈A∧x∈B))⇔
⇔x∈A.
Π
Wprowadzimyjeszczepojęcia,którebędąniezbędnewpóźniejszychrozdzia-
łachdozdefiniowaniapotęgiowykładnikurzeczywistym.
NiechAbędziepodzbioremzbioruliczbrzeczywistych.Mówimy,żezbiórA
jest:
i)ograniczonyzgóry,jeśliistniejetakaliczbaM,żeA⊂(−∞,M],tzn.
∃M∈R∀x∈Ax<M;
ii)ograniczonyzdołu,jeśliistniejetakaliczbam,żeA⊂[m,∞),tzn.
∃m∈R∀x∈Am<x;
iii)ograniczony,jeślijestograniczonyzgóryizdołu,czyli
∃M∈R∃m∈R∀x∈Am<x<M.
LiczbęM,oileistnieje,nazywamyograniczeniemgórnymzbioruAimówimy,że
zbiórAjestograniczonyzgóryprzezliczbę(stałą)M.Liczbęmzaś,oileistnieje,
nazywamyograniczeniemdolnymzbioruAimówimy,żezbiórAjestograniczony
zdołuprzezliczbę(stałą)m.
OgraniczonośćmożemyrównieżwyrazićzapomocąjednejstałejM.Miano-
wicie,zbiórAjestograniczony,jeśli
∃M∈R∀x∈A−M<x<M.
Ćwiczenie1.19.Czynastępującezbiorysąograniczone,ograniczonezgóry,
ograniczonezdołu?
1)A=[−1,7);
2)Atozbiórliczbnaturalnychpodzielnychprzez3;
3)A=(−∞,2];
4)Atozbiórliczbwymiernychpostaci1
p,gdziep∈Z\{0}.
Rozwiązanie
1)ZbiórAjestograniczonyzgóryprzezliczbę7izdołuprzezliczbę−1,gdyż
A⊂(−∞,7]iA⊂[−1,∞).Jestonzatemograniczony.
2)ZbiórAjestograniczonyzdołuprzezliczbę1,gdyżkażdaliczbanaturalna,
wszczególnościpodzielnaprzez3,jestwiększabądźrówna1.Najmniejszą
liczbąnaturalnąpodzielnąprzez3jestwłaśnieliczba3,więc„najlepszym”
